多元向量值函数的导数与微分

工科数学分析基础工科数学分析基础李换琴西安交通大学理学院[e-mail]2/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴1第五章多元函数微分学及其应用第一节n维Euclid空间点集的初步知识第二节多元函数的极限与连续性第三节多元数量值函数的导数与微分第四节多元函数的taylor公式与极值问题第五节多元向量值函数的导数与微分第六节多元函数微分学在几何上的应用第七节空间曲线的曲率和挠率3/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴第五节多元向量值函数的导数与微分习题5.52(3)，3(1)(2),5(1)，6,8,91.多元向量值函数的导数与微分2.由方程组确定的隐函数的微分法4/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴回顾)()()(00xoxAxfxxf)()(,)()(221100xoxxxxoxxfxxfnn一元函数可微多元函数可微n元向量值函数的极限,nRA设mmRAffff:),,,(21,元向量值函数为n,),,,(21mmRaaaa则axfxx)(lim0.)(lim0kkxxaxfmk,,2,15/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴)2(:mRAfnm元向量值函数),,,(),,,(),,,(2121222111nmmnnxxxfyxxxfyxxxfy)(xfy5.1一元向量值函数的导数与微分定义5.1,)(:0mRRxUf设若),(00xUxx存在，xxfxxfx)()(lim000处可导。在则称0xf)(),(00xDfxf或记为导数f在区间I上可导,)(),(xDfxf或记为6/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴,))(,),(),((21Tmxfxfxff设件知利用极限存在的充要条Tmxfxfxfxf)(,),(),()(21且类似于一元数量值函数，亦可以定义一元向量值函数的高阶导数.存在xxfxxfx)()(lim000存在xxfxxfiix)()(lim000可导在xxfxfxffTm))(,),(),((21可导均在xxfxfxfm)(,),(),(217/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴例1.)(,cos2sin2xfxexxf(x)x求设定义5.2,)(:0mRRxUf设若),(00xUxx,),,,(21mmRaaaax无关的向量若存在一个与)()()(00xxaxfxxf使得.)(,000xdfxfxaxf记作处的微分在为处可微。并称在则称定理5.1.))(,),(),((0021处可微的每个分量都在可微的充要条件是在一元向量值函数xfxxfxfxffTm.)()(000xxfxdfxf处可微时，有在且当）（或dxxf)(08/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴定义5.3并将处可微。在处可微，则称在点每个分量的元向量值函数，如果为设00),,1(n:xfxmiffRRfimn)()()()(002010xdfxdfxdfxdfm5.2向量值函数的导数与微分nmmmnnxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxf)()()()()()()()()(02010022210201201101ndxdxdx21称为f在x0处的微分.称为f在x0处的导数..)(0xDf记为9/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴021210),,,(),,,()(xnnfxxxfffxJ特别的当m=n时，该方阵的行列式称为f在x0处的Jacobi行列式。记为当m=1时，f为数量值函数nxxfxxfxxfxDf)()()()(020100)(0xf定义0))(()(T02xxDfDxfD为f在x0处的二阶导数.nnijxxxfxfD)()(0202T0)(xHf则有10/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴例2)()()(xDfRxAxxfnmAn试求，常数矩阵，为设例3.)1,1(,,,),(TT23处的导数和微分在点试求设有二元向量值函数fyxyxyxfAxDf)(解解yxyxyxDf2003),(2201103)1,1(Dfyxdf201103)1,1(yyxx2311/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴5.3微分运算法则的数量值函数，则处可微是处可微，都在设向量值函数xuxgf,定理5.2)()()(,)()())(()1(xfDgxgDfxgfDxgDxfDxgfDTTDufxfuDxfuD)())(()2(fxgDgxfDxgfDRRgRRf)()())((:,:)3(33则若12/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴)()()()(),,,(),,,(00000021021xgDufDxwDxgfwRxguffffRxggggpTmnTp且处可微，是可微，则在对应点可微，在设定理5.3(链式法则)例4)(,)(,1)(2122212123322221gfDxxxxxxxguuuuuuufw求设,),,(,),,(,),(32132121TTT其中.),(),,(,)()0,1(21321)0,1(xx及求13/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴)()()()(),,,(),,,(00000021021xgDufDxwDxgfwRxguffffRxggggpTmnTp且处可微，是可微，则在对应点可微，在设定理5.3(链式法则)有时特别地，,pnm),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(212121212121nnnnnnxxxggguuufffxxx于记忆。数的求导公式类似，便这个公式与一元复合函14/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴0),,,,,(0),,,,,(0),,,,,(11112111mnmmnmnyyxxFyyxxFyyxxF5.4由方程组确定的隐函数的导数mixxxfynii,,2,1),,,(21记),,,(1nxxx),,,(1myyyTmTmfffFFF),,(,),,(110),(yxF)(xfy?15/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴0),,,(),,,()2;010021210000），（），（），（）连续可微，且满足设yxmmFyyyFFFyxJyxFF定理5.4(隐函数存在定理).0))(,()(0xfxFxfyx满足，微函数邻域内存在唯一连续可则在16/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴例5设0yvxu，1xvyu确定u，v是x，y的函数，求xu，yu，xv和yv.解法1将所给方程的两边对求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ,22yx在0J的条件下，xyyxxvyuxu,22yxyvxuxyyxvyuxxv,22yxxvyu17/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴将所给方程的两边对求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv解法20ydvvdyxduudx，0xdvvdxyduudy，dyyxyuxvdxyxyvxudu2222dyyxyvxudxyxxvyudv2222xuyu18/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴例6设),(yxuu由方程组0),(0),,(),,,(tzhtzygtzyxfu所确定，其中hgf,,都是)1(C类，,0),(),(tzhgJ求.yu解dyJfhgfhgfJdxfduyzyttyzx)(100dthdzhdtgdzgdygdtfdzfdyfdxfdutztzytzyx)(1yzyttyzJfhgfhgfJyu19/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴例7设),,(txfy而t是由方程0),,(tyxF所确定的x，y的函数，其中F，f都具有一阶连续偏导数，证明.tytxttxFFfFfFfdxdy练习：P60---37题设,),(),(2yvxugvyvuxfu确定u，v是x，y的函数，求xu.答案：12211221)12)(1()12(gfyvgxfgfyvgufxu20/20向量值函数的导数与微分西安交通大学李换琴谢谢！谢谢！李换琴西安交通大学理学院[e-mail]