高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质课件

随堂讲义专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，一般以选择题或填空题的形式进行考查．对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，通过数形结合的思想方法解决问题．对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性，也可能考查求函数的定义域和简单函数的值域、最值问题．例1判断下列对应是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0.思路点拨：本题四个小题中的集合A和B都是非空的数集，利用函数的定义，对于集合A中的元素通过对应关系判断在集合B中是否有唯一元素与之对应．解析：(1)A中的元素0在B中没有对应的元素，故不是A到B的函数．(2)对于A中的任意一个整数x，按照对应法则f：x→y＝x2，在B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是A到B的函数．(3)A中的元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故不是A到B的函数．(4)对于A中的任意一个数x，按照对应法则f：x→y＝0.在B中都有唯一确定的数0和它对应，故是A到B的函数．判断一个对应法则是否构成函数，首先看A，B是不是非空数集，其次看给出A中的任何一个值x，通过给出的对应法则，在B中是否有唯一确定的值y与之对应．1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，M＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示P到M的函数的是(C)A．y＝12xB．y＝13xC．y＝23xD．y＝x解析：因按C中对应法则时，集合P中的4在集合M中没有元素与这对应．2．已知函数f(x)＝a·2x，x≥0，2－x，x＜0，(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(A)A.14B.12C．1D．2解析：f(－1)＝2，f(2)＝4a，所以f[f(－1)]＝4a＝1，解得a＝14.例2判断函数f(x)＝ex＋1ex在区间(0，＋∞)上的单调性．思路点拨：单调性的定义．解析：解法一设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1＋1ex1－ex2＋1ex2＝(ex1－ex2)＋ex2－ex1ex1·ex2＝(ex1－ex2)1－1ex1＋x2＝(ex1－x2－1)·ex1＋x2－1x1.∵0x1x2，∴x1－x20，x1＋x20.∴ex1－x21，ex1＋x21，x10.∴f(x1)－f(x2)0∴f(x1)f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．解法二对f(x)＝ex＋1ex求导，得f′(x)＝ex－1ex＝1ex(e2x－1)，当x0时，ex0，e2x1，∴f′(x)0.∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．(1)判断函数的单调性的一般思路：对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式较复杂的，用导数法或定义法．(2)对于函数的奇偶性的判断，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，其次再看f(－x)与f(x)的关系．(3)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法．3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x＋2，则f(7)＝(A)A．－3B．3C．－1D．1解析：因为f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期为4的周期函数，又因为f(x)是奇函数，故有：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.故选A.例3分别画出下列函数的图象：(1)y＝x＋2x－1；(2)y＝|x＋1|；(3)y＝12|x|；(4)y＝ln(1－|x|)．思路点拨：先作出基本函数的图象，再通过平移、翻折等变换得到所求函数的图象．解析：(1)函数y＝x＋2x－1＝（x－1）＋3x－1＝1＋3x－1.因此函数y＝x＋2x－1的图象可以由y＝3x的图象向右平移1个单位长度并向上平移1个单位长度得到，如图1所示．(2)先作函数y＝|x|的图象，再将函数的图象向左平移1个单位长度得到y＝|x＋1|的图象，如图2所示．(3)先作函数y＝12x的图象，将图象x0的部分去掉，同时将x0部分的图象沿y轴对称翻折到x0的部分(或者说在x轴负半轴作关于y轴对称的图象)得到y＝12|x|的图象，如图3所示．(4)先作函数y＝lnx，作其关于y轴的对称曲线得到y＝ln(－x)，将y＝ln(－x)图象向右平移1个单位长度得到y＝ln[－(x－1)]，即y＝ln(1－x)，去掉图象位于x轴负半轴的部分，并将x轴正半轴的部分图象沿y轴对称翻折得到y＝ln(1－|x|)的图象，如图4所示．函数图象的变换，考纲中没有明确提出要求，课标中往往是要求借助于绘图软件来获取图象，但从实际考查来看又常常涉及，对于具体函数(如指数函数、对数函数、幂函数)经过平移、对称变换后的图象问题还是应该掌握，但选题不宜过于复杂、非常见．4．已知函数f(x)＝1＋lnx，x≥1，x3，x＜1，则f(x)的图象为(A)例4已知函数f(x)＝12x，x≤0，log2（x＋2），x＞0，若f(x0)≥2，则x0的取值范围是________．思路点拨：本题可以分x0≤0和x0＞0两种情况讨论，分别得到简单的指数、对数不等式，再根据幂和对数运算性质转化为同底数幂值、对数值比较大小，最后用指数、对数函数单调性求解．解析：当x0≤0时，f(x0)≥2化为12x0≥2，即12x0≥12－1，∴x0≤－1.当x0＞0时，f(x0)≥2化为log2(x0＋2)≥2，即log2(x0＋2)≥log24，∴x0＋2≥4，∴x0≥2.∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)(1)熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决此类题目的关键．(2)要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中的应用．5．(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x2(a0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是(1，2]．解析：当x≤2时，y＝－x＋6≥4.∵f(x)的值域为[4，＋∞)，∴当a1时，3＋logax3＋loga2≥4，∴loga2≥1，∴1a≤2；当0a1时，3＋logax3＋loga2，不合题意．故a∈(1，2]．1．画函数的图象或研究函数的性质时，一定要注意定义域的限制．2．判断函数y＝f(x)的奇偶性时，注意观察函数的定义域是否关于原点对称，同时注意“函数的定义域关于原点对称”与“奇函数的图象关于原点对称”的内涵是不同的．3．函数的图象一般可以由两种方法得到：(1)描点法；(2)利用基本函数图象的平移、对称、翻折、伸缩等变换．用描点法画图象时，可结合函数的性质，比如奇偶性、周期性、单调性等．4．会“画图”，还要会“识图”，能根据函数的图象研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．5．注意对抽象函数y＝f(x)的对称性与周期性的识别，如f(a＋x)＝f(a－x)和f(x＋a)＝f(x－a)在形式上相近，有时难以区分，可以对比学习．