5-复杂网络的同步与控制

ComplexNetworkSynchronizationandTopologyindentification第5讲：复杂网络的动力学同步与控制方锦清(FangJin-Qing)中国原子能科学研究院ChinaInstituteofAtomicEnergy内容提要主要讨论复杂网络同步的基本概念和若干复杂网络同步的研究进展•参考：陈关荣、陆君安教授等研究论文和会议报告1.复杂动力网络的一般同步概念•近年非线性、连接性、以及复杂性问题的研究已取得了重要的进展。如何把复杂网络理论、动力系统理论和現代控制理论三者密切結合,深入地研究复杂动力网络的动力学特性、同步与控制是一个重要课题。ChaosCommunicationsFrancisCMLau,MichaelCKTse,PolyUCentreforChaosControlandSynchronizationSynchronizationIsoneofthemostPervasivephenomenaintheUniverse同步是复杂网络的集体行为.耦合振子之間的同步運動NetworkSynchronization起源于钟摆的发明者惠更斯(Huygens)•Thestudyofsynchronoussystemscutsacrossthedisciplinesofmodernscience.Buttheunderlyingphenomenonwasfirstdocumentedoverthreecenturiesago.•In1665,DutchphysicistChristiaanHuygenslayillinbed,watchingthemotionsoftwopendulumclockshehadbuilt.•Tohissurprise,hedetectedan“oddkindofsympathy”betweentheclocks:regardlessoftheirinitialstate,thetwopendulumssoonadoptedthesamerhythm,onemovingleftastheotherswungright.•Elated,HuygensannouncedhisfindingataspecialsessionoftheRoyalSocietyofLondon,attributingthissynchronytotinyforcestransmittedbetweentheclocksbythewoodenbeamfromwhichtheyweresuspended.•In1960s,ArthurWinfree,atheoreticalbiologistbegantostudycoupledoscillatorsSynchronizationofClocks•BiologicalClockSelf-organizationintheconcert-hall:thedynamicsofrhythmicapplause,Nature,2001PedestriansmakeLondon’sMillenniumBridgewobble•TacomaNarrowsBridgeDisaster•OnNovember7,1940,atapproximately11:00AM,thefirstTacomaNarrowssuspensionbridgecollapsedduetowind-inducedvibrations.SituatedontheTacomaNarrowsinPugetSound,nearthecityofTacoma,Washington,thebridgehadonlybeenopenfortrafficafewmonths.2.复杂动力网络的一般理论框架复杂动力网络的一般理论模型1()()()(),1,2,,NiiijjijjixfxattxxiNnTiniiiRxxxx),,,(21()(())nnijnnttR()(())NNijNNAtatR为内连矩阵为t时刻的耦合矩阵(反映连接强度)。1()()(),1,2,,NiiijjijjixfxcatxxiN即写成其中c是耦合强度，是0-1矩阵如果设:A为耗散矩阵（行和为0：),且不可约矩阵(连通)，则经常写成如果A是常数矩阵，内联是自治的,则动力网络是非时变的，否则是时变动力网络。()ijNNAaiiijjiaa1()()(),1,2,,NiiijjjxfxattxiN()()0(,1,2,...,)ijxtxttijN，网络同步定义:首先定义同步流形为线性子空间如果当时，x趋近于M，则称网络同步.即对于所有的节点，在任意初始条件下:,,ijMxxxij＝t•对于耗散耦合，则有特征值零特征值对应的右特征向量为[1,1,…,1]，它对应同步流形。A为扩散矩阵时，同步流形一般是指孤立节点（动力系统）解，它满足所谓同步也就是所有节点状态在横截同步流形的N-1维子空间上的投影渐近地趋于零。研究同步关心：A和的特征值，动力系统f的Lipschitz条件,0ijija()(())stfst1230N同步判定准则■主稳定函数方法(P-C，1998，Masterstabilityfunctionapproach)假定耦合矩阵A(t)=A是一常量矩阵,且耦合函数是线性的且是自治的.则在同步态s(t)处作线性化处理,经过等价的线性变换过程,可以得到变分方程ˆˆ[()],1,2,3,,.kkkDfsckN•注意到：耗散耦合的条件,=0总是耦合矩阵的一个特征值,且其特征向量(1,1…,1)对应了同步流形的模式.故判断同步流形的稳定性只需判断下面N-1个方程的稳定性即可如果考虑到当耦合矩阵A为非对称阵时，其特征值可能为复数,令,这就定义了动力网络的主稳定方程(MasterStabilityFunction(MSF)).1ˆˆ[()],2,3,,.kkkDfsckNkkkci•由于计算节点数目巨大网络的横向Lyapunov指数是一项艰苦的工作.在比较具有相同动力学的网络的同步能力时,提出最大横向Lyapunov指数的区域为同步化区域（C为复平面）,它是由孤立节点上的动力学函数、耦合强度、以及外耦合矩阵和内耦合矩阵函数确定的.•根据同步域的不同,可以把动力网络分为以下三类:类型-A:同步域无界;类型-B:同步域有界;类型-C:同步域为空,此时网络无论在什么参数条件下都不能实现同步.max0max:()0C•如果耦合矩阵对称，则特征值在实轴：（1）同步域无界：越接近于0，则同步能力越弱；（2）同步域有界：比值越接近于1，则同步能力越强；（3）同步域为空集：则对于任意耦合强度和耦合矩阵都无法实现同步。22/N■连接图稳定性方法(最近俄罗斯学者提出的一种新的研究网络同步的方法)结合Lyapunov函数方法与图理论优点:1)避免计算Lyapunov指数与耦合矩阵的特征值;2)可以估计网络中每条边的耦合强度;3)适合时变网络;缺点:耦合强度下界估计保守同步判定准则定理如果耦合网络中边的耦合强度对于任意t都有下式成立：其中为两个振子全局同步的耦合强度的两倍，N和m是节点和边数，为网络中通过边k的满足jI的所有最短路径（选择路径）Pij的长度的总和，则系统的同步流形是全局渐近稳定的。3.网络同步的主要问题•时变与非时变网络，不确定网络•同步类型：严格同步，投影同步，相同步，广义同步•耦合形式：线性耦合，非线性耦合，时滞耦合，脉冲耦合，Blinking模型；•同步方法：线性反馈，非线性反馈，自适应方法，脉冲反馈，变量替换驱动混沌同步分类（ClassificationofChaosSynchronization）图表标题IdenticalSynchronization(IS)PhaseSynFrequencySynIntermittentSynGeneralizedSynchronization(GS)CataloguesofSychronization同步分类IdenticalSynchronizationGeneralizedSynchronizationinNon-IdenticalChaoticSystemsDynamicalNetworkModelAnetworkofNn-Ddynamicalnodes(oscillators)c0couplingstrengthcouplingmatrixSynchronizationstate:Thesynchronizabilityofanetworkwithrespecttoaspecificcouplingconfigurationissaidtobestrongifthenetworkcansynchronizewithasmallcouplingstrengthc.1()Niiijjjxfxcax1,2,,iN()ijNNAaijxxijDynamicalNetworkModel•ConsideranetworkconsistingofNidenticallinearlyanddiffusivelycouplednodes.Eachnodeisan-D(chaotic)dynamicalsystem•Networkequations:•••stateofnodei;c0couplingstrengthinnercouplingmatrixnetworkcouplingmatrixifthereisalinkbetweennodeiandjkiisthedegreeofnodeinnNjjijiixacxfx1)(Ni,,2,1nixNNijaA)(1ijaiiikaNetworkSynchronization•NetworkSynchronizationComplexDynamics–Typicalnetworks:coupledmaplattice,cellularneuralnetworks–Typicaldynamics:Turingpatterns,autowaves,spiralwaves,spatiotemporalchaos•NetworkSynchronization–SynchronizationinSmall-WorldNetworks–SynchronizationinScale-FreeNetworks•RobustnessvsFragilityinNetworkSynchronizationSynchronizationTheorem•LetbetheeigenvaluesofthecouplingmatrixA.Thesynchronizationstateisexponentiallystable,ifwhereisaconstantdeterminedbyfandThesynchronizabilityofanetworkwithrespecttoaspecificcouplingconfigurationissaidtobestrongifthenetworkcansynchronizewithasmallcouplingstrengthc.Thesynchronizabilitycanbecharacterizedbythesecond-largesteigenvalueofthecouplingmatrixA0ddc2N210)()()()(21tstxtxtxNSynchronizationinregularcouplednetworksGloballycouplednetwork:Nomatterhowsmallthecou