高三数学一轮复习课件：坐标系与参数方程

坐标系与参数方程[选修4－4]第一节坐标系第二节参数方程目录坐标系与参数方程[选修4－4][知识能否忆起]一、极坐标系与极坐标如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记作．极轴极径ρ极角θ(ρ，θ)M(ρ，θ)二、点的极坐标和直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x＝ρcosθ，y＝.又可得到关系式：ρ2＝，tanθ＝(x≠0)．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．ρsinθx2＋y2yx三、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆(－π2≤θ＜π2)ρ＝rρ＝2rcosθ曲线图形极坐标方程ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或(2)θ＝α和θ＝π＋αθ＝π＋α(ρ∈R)圆心为r，π2，半径为r的圆曲线图形极坐标方程过点(a,0)，与极轴垂直的直线a－π2＜θ＜π2过点a，π2，与极轴平行的直线(0＜θ＜π)ρcosθ＝ρsinθ＝a[小题能否全取]1．(教材习题改编)在极坐标系中，直线l的方程ρsinθ＝3，则点2，π6到直线l的距离为________．解析：∵直线l的的极坐标方程可化为y＝3，点2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点2，π6到l的距离为2.答案：22．(教材习题改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为____________．解析：∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴由互化公式知x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.答案：x2＋y2－4x－2y＝03．在极坐标系中，以a2，π2为圆心，a2为半径的圆的方程为________________．解析：利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为ρ＝asinθ.答案：ρ＝asinθ4．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1(0≤θ2π)的交点的极坐标为________．解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，联立x2＋y2＝2y，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，故交点(－1,1)的极坐标为2，3π4.答案：2，3π45．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsinθ＋π4＝22的距离为________．解析：注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是(2,0)．直线ρsinθ＋π4＝22的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋0－4|2＝2.答案：2平面直角坐标系中的伸缩变换[例1]求曲线y＝sin2x＋π4经伸缩变换x′＝2x，y′＝12y后的曲线方程．[自主解答]由x′＝2x，y′＝12y得x＝12x′，y＝2y′.①将①代入y＝sin2x＋π4，得2y′＝sin2·12x′＋π4，即y′＝12sinx′＋π4.故变换后的曲线方程为y＝12sinx＋π4.本例若变为“若曲线y＝sin2x＋π4经过伸缩变换后变为y＝2sin4x＋π4”，试求此伸缩变换．解：设伸缩变换为x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0，代入y′＝2sin4x′＋π4，得μy＝2sin4λx＋π4.∴y＝2μsin4λx＋π4.与y＝sin2x＋π4对比知，2μ＝1，4λ＝2，∴μ＝2，λ＝12.所以所求伸缩变换为x′＝12x，y′＝2y.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换x′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．1．通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆x＋129＋y－124＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换．解：先通过平移变换x′＝x＋1，y′＝y－1，把椭圆x＋129＋y－124＝1变为椭圆x′29＋y′24＝1.再通过伸缩变换x″＝x′3，y″＝y′2，把椭圆x′29＋y′24＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成的变换为x″＝13x＋1，y″＝12y－1.极坐标与直角坐标的互化[例2](2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．[自主解答](1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.解ρ＝2，ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一：由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t，－3≤t≤3.或参数方程写成x＝1，y＝y，－3≤y≤3法二：将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ，－π3≤θ≤π3.极坐标(ρ，θ)化为直角坐标时，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；直角坐标(x，y)化为极坐标时，ρ＝x2＋y2惟一确定，但由tanθ＝yx(x≠0)确定角θ时不惟一，一般根据点(x，y)所在的象限取最小正角．2．(2012·西城模拟)已知圆的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为________________．解析：x2＋y2－2y＝0⇒x2＋(y－1)2＝1，该方程表示圆心为(0,1)，半径为1的圆．如图，在圆上任取一点M(ρ，θ)，则OM＝2sinθ，即ρ＝2sinθ.答案：ρ＝2sinθ3．(2012·高淳模拟)圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.简单曲线的极坐标方程及应用[例3](2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求PA2＋PB2＋PC2＋PD2的取值范围．[自主解答](1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝PA2＋PB2＋PC2＋PD2则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．1．求曲线的极坐标方程其实质是在极坐标系中建立动点M(ρ，θ)的极坐标ρ与θ的关系，注意检验特殊点．2．极坐标方程应用时，一般化为直角坐标方程，转化时注意方程的等价性．4．(2012·深圳调研)在极坐标系中，点P1，π2到曲线l：ρcosθ＋π4＝322上的点的最短距离为________．解析：点P1，π2的直角坐标是(0,1)，曲线l：ρcosθ＋π4＝322的直角坐标方程是x－y－3＝0，因此点P1，π2到直线l上的点的最短距离即为点P到直线l的距离，等于|0－1－3|2＝22.答案：225．(2012·银川模拟)在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝22sinθ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x＝t，y＝1＋2t(t为参数)，判断直线l和圆C的位置关系．解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1，ρ＝22sinθ＋π4，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心C到直线l的距离d＝|2－1＋1|22＋12＝2552，所以直线l和圆C相交．[知识能否忆起]几种常见曲线的参数方程1．直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是(l为参数)．x＝x0＋lcosα，y＝y0＋lsinα.2．圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数，α∈[0,2π)．当圆心在(0,0)时，方程为x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα.x＝rcosα，y＝rsinα.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是其中φ是参数．3．椭圆x＝acosφ，y＝bsinφ.(2)椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是，其中φ是参数．x＝bcosφ，y＝asinφ.[小题能否全取]1．(教材习题改编)参数方程x＝3t＋2，y＝t－1(t为参数)的普通方程为________________．解析：由y＝t－1，得t＝y＋1，代入x＝3t＋2，得x＝3y＋5，即x－3y－5＝0.答案：x－3y－5＝02．(教材习题改编)曲线x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的左焦点的坐标是________．解析：化为普通方程为x225＋y29＝1，故左焦点为(－4,0)．答案：(－4,0)3．(2012·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线x＝t＋1，y＝t－12(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．解析：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为y＝x(x≥0)，曲线为y＝(x－2)2，联立上述两个方程得x