线性代数课后习题解答第四章习题详解

27第四章向量组的线性相关性1．设TTTvvv)0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321,求21vv及32123vvv.解21vvTT)1,1,0()0,1,1(T)10,11,01(T)1,0,1(32123vvvTTT)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3T)01203,41213,30213(T)2,1,0(2．设)(5)(2)(3321aaaaaa其中Ta)3,1,5,2(1,Ta)10,5,1,10(2,Ta)1,1,1,4(3,求a.解由)(5)(2)(3321aaaaaa整理得)523(61321aaaa])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61TTTT)4,3,2,1(3已知向量组Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由312123111012421301402230),(BA971820751610402230421301~r531400251552000751610421301~r000000531400751610421301~r知R(A)R(AB)3所以B组能由A组线性表示由000000110201110110220201312111421402~~rrB知R(B)2因为R(B)R(BA)所以A组不能由B组线性表示4已知向量组Aa1(011)Ta2(110)T28Bb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T证明A组与B组等价证明由000001122010311112201122010311011111122010311),(~~rrAB知R(B)R(BA)2显然在A中有二阶非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2从而R(A)R(B)R(AB)因此A组与B组等价5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3证明(1)a1能由a2a3线性表示(2)a4不能由a1a2a3线性表示证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为000110121220770121101413121~~rrA所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为022200043012||B29所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由)1)(1(111111||aaaaaaA知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1(a1b)2(a2b)0由此得2211121122121211)1(aaaab设211c则bca1(1c)a2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之解不一定例如当a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T时有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组maaa,,,21是线性相关的,则1a可由,,2maa线性表示.(2)若有不全为0的数m,,,21使01111mmmmbbaa成立,则30maa,,1线性相关,mbb,,1亦线性相关.(3)若只有当m,,,21全为0时,等式01111mmmmbbaa才能成立,则maa,,1线性无关,mbb,,1亦线性无关.(4)若maa,,1线性相关,mbb,,1亦线性相关,则有不全为0的数,m,,,21使.0,01111mmmmbbaa同时成立.解(1)设)0,,0,0,1(11ea,032maaa满足maaa,,,21线性相关,但1a不能由,,,2maa线性表示.(2)有不全为零的数m,,,21使01111mmmmbbaa原式可化为0)()(111mmmbaba取mmmbeabeabea,,,222111.其中mee,,1为单位向量,则上式成立,而maa,,1,mbb,,1均线性相关.(3)由01111mmmmbbaa(仅当01m)mmbababa,,,2211线性无关取021m,取mbb,,1为线性无关组.满足以上条件,但不能说是m,,,21线性无关的.(4)Ta)0,1(1Ta)0,2(2Tb)3,0(1Tb)4,0(221221121221143020bbaa021与题设矛盾.11．设144433322211,,,aabaabaabaab,证明向量组4321,,,bbbb线性相关.证明设有4321,,,xxxx使得044332211bxbxbxbx则0)()()()(144433322211aaxaaxaaxaax0)()()()(443332221141axxaxxaxxaxx(1)若4321,,,aaaa线性相关,则存在不全为零的数4321,,,kkkk,411xxk;212xxk;323xxk;434xxk;由4321,,,kkkk不全为零,知4321,,,xxxx不全为零,即4321,,,bbbb线性相关.(2)若4321,,,aaaa线性无关,则000043322141xxxxxxxx011000110001110014321xxxx由01100011000111001知此齐次方程存在非零解.则4321,,,bbbb线性相关.综合得证.12．设rraaabaabab2121211,,,,且向量组raaa,,,21线性无关,证明向量组rbbb,,,21线性无关.证明设02211rrbkbkbk则31prprrakkakkakk)()()(22110rrak因向量组raaa,,,21线性无关,故000221rrrkkkkkk0001001101121rkkk因为0110011011故方程组只有零解.则021rkkk.所以rbbb,,,21线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1)41211a,41010092a,82423a;(2))3,1,2,1(1Ta,)6,5,1,4(2Ta,)7,4,3,1(3Ta.解(1)3131,2aaaa线性相关.由824241010094121321TTTaaa000032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,aa.(2)743165143121321TTTaaa10550189903121~0000189903121~秩为2,最大线性无关组为TTaa21,.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1)4820322513454947513253947543173125;(2)14011313021512012211.解(1)482032251345494751325394754317312514131233~rrrrrr531053103210431731252334~rrrr00003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)1401131302151201221114132~rrrr222001512015120122114323~rrrr00000222001512012211，32所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15设向量组(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩为2求ab解设a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因为5200111031116110111031113111332221),,,(~~2143baababarraaaa而R(a1a2a3a4)2所以a2b516．设naaa,,,21是一组n维向量,已知n维单位坐标向量neee,,,21能由它们线性表示,证明naaa,,,21线性无关.证明n维单位向量neee,,,21线性无关.不妨设:nnnnnnnnnnakakakeakakakeakakake22112222121212121111所以TnTTnnnnnnTnTTaaakkkkkkkkkeee2121222211121121两边取行列式，得TnTTnnnnnnTnTTaaakkkkkkkkkeee