2011高考全国卷2数学理科试题及答案

12011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）理科数学（必修+选修II）一、选择题（1）1zzz复数1iz，z为z的共轭复数，则A.-2iB.-iC.iD.2i（2）函数2(0)yxx的反函数为A.2()4xyxRB.2(0)4xyxC.24()yxxRD.240yxx（3）下面四个条件中，使得ab成立的充分不必要条件是A.1abB.1abC.22abD.33ab（4）设nS为等差数列{}na的前n项和，若11a，公差2d，2?–24kkSS，则kA.8B.7C.6D.5（5）设函数cos(0)fxx，将yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则的最小值等于A.13B.3C.6D.9（6）已知直二面角l，点,AACl，C为垂足，点,BBDl，D为垂足。若2AB，1ACBD，则D到平面ABC的距离为A.23B.33C.63D.1（7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有A.4种B.10种C.18种D.20种（8）曲线2e1xy，在点(0,2)处的切线与直线0y和yx围成的三角形的面积为A.13B.12C.23D.1（9）设fx是周期为2的奇函数，当01x时，21fxxx，则52fA.12B.14C.14D.12（10）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，直线24yx与C交与A，B两点，则cosAFBA.45B.3 5C.35D.452（11）已知平面截球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面的半径为4，圆M面积为4，则圆N的面积为A.7B.9C.11D.13 （12）设向量,,?abc满足11,,,602ababacbc，则||c的最大值为A.2B.3 C.2D.1二、填空题（13）201x的二项展开式中，x的系数与9x的系数之差为__________。（14）已知,2，5sin5,则tan2=__________。（15）已知F1、F2分别为双曲线22:1927xyC的左右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为12FAF的平分线，则2AF_________。（16）已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱11BBCC、上，且112,2BEEBCFFC，则面AEF与ABC所成的二面角的正切值等于__________。三、解答题（17）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知90,2ACacb，求C。（18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。（II）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。3ADCBS（19）如图，四棱锥SABCD中，,ABCDBDCC∥，侧面SAB为等边，2ABBC，1CDSD.（I）证明：SDSAB平面；（II）求AB与平面SBC所成角的大小。（20）设数列{}na满足10a且111111nnaa.（I）求{}na的通项公式；（II）设11nnabn，记1nnkkSb，证明：1nS.4xylAFOB（21）已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，点P满足0OAOBOP.（I）证明：点P在C上；（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明APBQ、、、四点在同一圆上。（22）设函数2ln12xfxxx。（I）证明：当0x时，()0fx；（II）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明：1929110ep。5参考答案一、选择题123456789101112BBADCCBAADDA二、填空题13、0．14、4315、616、2 3三、解答题（17）（10分）由2acb及正弦定理可得（3分）sinsin2sinACB又由于90AC,180BAC所以cossin2sin()2sin(902)2sin2CCACCC……7分22cossincos222cos(45)cos2.CCCCC090,C2C45C,C15……10分（18）（12分）解：记A“有一位车主购买甲种保险”，B“车主买乙种保险但不购买甲种保险”，C“至少购买一种保险”，D“两种保险都不购买”（I）0.5,0.3,0.8PAPBPCPAPB……6分6HGFADCBS（II)DC所以0.2PD……10分因为~(100,0.2)XB所以1000.220EX……12分（19）（12分）解法一：（I）AB中点E，连结SE，则,3SEABSE.又1DE，故222 DESESD,所以DSE是直角……3分由ABSDE平面,所以ABSDSD与两条相交直线AB、SE都垂直所以SDSAB平面……6分（II）由ABSDE平面知，平面ABCDSDE平面作SFDE,垂足为F，则SFABCD平面，32SDSESFDE.作FHSG，G为垂足，则1FGDC.连结SG则SGBC.又,BCFGSGFGG，故,BCABCDSBCSFG平面……9分作FHSG,H为垂足，则FHSBC又37SFFGFHSG，F到平面SBC的距离为217.由于EDBC所以EDSBC，E到平面SBC的距离d为217。设AB与平面SBC所成的角为，则2121sin,arcsin?77dEB……12分解法二：（I）以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0).又设(,,)Sxyz，则0,0,0xyz.易得2,2,,,2,,(1,,)ASxyzBSxyzDSxyz由||ASBS得222222222xyzxyz,故1x.7由1DS得221yz.又2BS得22224xyz即22410yzy，所以13,22yz.……3分所以133333131,,-1,,1,,,0,,?22222222SASBSDS，，.则0,0DSASDSBS.所以,DSASDSBS，又ASBSS，所以SDSAB平面。……6分（II）设平面SBC的法向量为,,nmnp，则0,0nBSnCB故3302220mnpn……9分取2p得3,0,2n，又2,0,0AB，得21cos,7ABnABnABnAB与平面SBC所成的角大小为21arcsin7……12分（20）（12分）解：（I）由题设111111nnaa，即11na是公差为1的等差数列。又1111a故11nna得11nan.……5分zyxCASBD8（II）由（I）中结论11111111,11111·111nnnnnkkknabnnnnnnSbkkn……8分……12分（21）（12分）解：（I）(0,1)F，l的方程为21yx，代入2212yx并化简得……2分242210x设112233,,,,(,)AxyBxyPxy，则122626,44xx，得1212122,2212xxyyxx得3123122,12xxxyyy所以点P的坐标为2,12，验证得P在椭圆上。……6分（II）由2,12P，知2,12Q，PQ的垂直平分线1l的方程为2.2yx设AB的中点为M，则21,?42M，AB的垂直平分线2l的方程为921  924yx分联立12ll，得21,88N，……9分22221222232·||,232||,42233||4221311||1,2888||1(2)11288311||||,8||||,||||,||||,||||||||,8||xAMMNNAAMNPNANPNQNANBNANNPABPNBNQQMNABxP故又所以由此可知、、、四点在以NNA为圆心，为半径的圆上……12分（22）解：（I）2212xfxxx.……2分当0x时，0fx，所以当xR，00fxf……5分（II）20100999881100p.又222998190,988290,,918990，所以19910p……9分由（I）知：当0x，2ln12xxx，所以21ln12xx.令19x则1019ln29,10所以19210e9综上：1929110ep……12分