最值定理

最值定理王志刚2012.12.23一.复习引入注意：区间端点处指的是左连续或右连续。定义1：设函数为定义在区间的函数。若对任意，在处连续(即)，则称为区间上的连续函数。fIIx0)()(lim00xfxfxxfIf0x一.复习引入)(xfy例如：闭区间上的连续函数。],[baxyoab)(af)(bfABxyoab)(af)(bfBA二.最值定理定理：若为闭区间上的连续函数，则在上有最大值和最小值。f],[baf],[ba证明思路：1.若在上连续，则在上有界。2.上确界为最大值，下确界为最小值。f],[baf],[ba二.最值定理1.若在上连续，则在上有界。f],[baf],[ba1aab1b2a2b3b3a······证明:(反证法)设在上无上界。f],[ba由于在处连续，故存在，在上有界，而当足够大，存在闭区间套：],[nnba且对任意，在上无上界。nf],[nnba由区间套定理可知：.,2,1],,[nbannf0),(Ufn),(],[Ubann矛盾，故题设成立。二.最值定理2.上确界为最大值，下确界为最小值。记，设，有。)(sup],[xfMbax],[baxMxf)(做辅助函数：，它为上的连续函数，由第一步可知：为上的有界函数。故存在，对，有)(1)(xfMxg],[bag],[ba0G],[bax,1)()(1)(GMxfGxfMxg故也为的上界，与为上确界矛盾。GM1fM因此，。故题设成立。Mxfbax)(],,[00证明：二.最值定理最值定理中的闭区间和连续函数缺一不可。1.开区间上的连续函数。)1,0(,1)(xxxf例如：xyo112.开区间上的连续函数满足什么条件一定有界？二.最值定理xyoab若在上连续，和存在，则一定有界。f),(ba)0(af)0(bff若在上连续，和存在，且和既不是上界，也不是下界，则一定有最值。f),(ba)0(af)0(bf)0(bf)0(aff3.闭区间上的非连续函数。二.最值定理]1,0(100)0,1[,1)(xxxxxxfx1111yo三.小结1.闭区间上的连续函数，不仅有界，而且能达到最大值和最小值；2.最值定理中的闭区间和连续函数的两个条件缺一不可。四.课后思考如何求闭区间上的连续函数的最大值和最小值？