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12.3离散型随机变量及其分布列-2-知识梳理考点自测1.随机变量在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,在这种对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a,b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量,称为随机变量.随机变量离散型-3-知识梳理考点自测3.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的,简称为X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①pi≥0(i=1,2,…,n);②∑𝑛i=1pi=p1+p2+…+pn=1.概率分布列-4-知识梳理考点自测4.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为其中p=P(X=1)称为成功概率.(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.X01P1-ppX01…mP𝐶M0𝐶N-Mn-0𝐶Nn𝐶M1𝐶N-Mn-1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N-Mn-m𝐶NnP(X=k)=C𝑀𝑘C𝑁-𝑀𝑛-𝑘C𝑁𝑛,k=0,1,2,…,m,即-5-知识梳理考点自测1.若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b是常数)也是随机变量.2.随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的.-6-知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数.()(2)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.()答案答案关闭(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√-7-知识梳理考点自测234152.袋中有除颜色外其他完全相同的3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数答案解析解析关闭选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.答案解析关闭C-8-知识梳理考点自测234153.(2017福建厦门质检)设随机变量X的分布列为P(X=k)=m23𝑘(k=1,2,3),则m的值为()A.1738B.2738C.1719D.2719答案解析解析关闭∵P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=m×23+m×232+m×233=1,∴m=2738.答案解析关闭B-9-知识梳理考点自测234154.设随机变量X的概率分布列如下,则P(|X-2|=1)=()X1234P1614m13A.712B.12C.512D.16答案解析解析关闭由所有概率和为1,可得m=14,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=16+14=512.答案解析关闭C-10-知识梳理考点自测234155.(2017河北石家庄模拟)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为.答案解析解析关闭事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球、2个旧球,故P(X=4)=C91C32C123=27220.答案解析关闭27220-11-考点1考点2考点3考点1离散型随机变量分布列的性质例1设随机变量X的分布列为P𝑋=𝑘5=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求a的值;(2)求P𝑋≥35;(3)求P110𝑋≤710.答案答案关闭(1)由分布列的性质,得P𝑋=15+P𝑋=25+P𝑋=35+P𝑋=45+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=115.(2)P𝑋≥35=P𝑋=35+P𝑋=45+P(X=1)=3×115+4×115+5×115=45.(3)P110𝑋≤710=P𝑋=15+P𝑋=25+P𝑋=35=115+215+315=25.-12-考点1考点2考点3思考利用离散型随机变量的分布列的性质能解决哪些问题?解题心得1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,要注意检查每个概率值均为非负数.2.求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.-13-考点1考点2考点3对点训练1设离散型随机变量X的分布列为求:(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.X01234P0.20.10.10.3m解:由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.列表得X012342X+113579|X-1|10123-14-考点1考点2考点3从而由上表得两个分布列为(1)2X+1的分布列为(2)|X-1|的分布列为2X+113579P0.20.10.10.30.3|X-1|0123P0.10.30.30.3-15-考点1考点2考点3考点2求离散型随机变量的分布列(多考向)考向1与互斥事件、独立事件有关的分布列例2(2017山东临沂一模,理18)甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为,乙每次射击命中的概率为,且每次射击互不影响,约定由甲先射击.(1)求甲获胜的概率;(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望E(X).2325解:(1)记甲第i次射击中获胜的概率为Ai(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的概率为A1+A2+A3.P(A1)=23,P(A2)=13×35×23=215,P(A3)=132×352×23=275.故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=23+215+275=6275.-16-考点1考点2考点3(2)X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=23+13×25=45,P(X=2)=13×35×23+13×35×13×25=425,P(X=3)=132×352×1=125.X的分布列为:X123P45425125故E(X)=1×45+2×425+3×125=3125.-17-考点1考点2考点3思考甲获胜包括哪几种情况?解题心得本例(1)中,甲获胜包括甲在第一次射击中获胜;甲和乙在第一次射击中都没射中,甲在第二次射击中射中;甲和乙在前两次射击中都没射中,甲在第三次射击中射中.这些事件都是互斥事件.-18-考点1考点2考点3对点训练2甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队”得3分;若只有一人猜对,则“星队”得1分;若两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是,每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).2334-19-考点1考点2考点3解:(1)记事件A为“甲第一轮猜对”,记事件B为“乙第一轮猜对”,记事件C为“甲第二轮猜对”,记事件D为“乙第二轮猜对”,记事件E为“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+𝐴BCD+A𝐵CD+AB𝐶D+ABC𝐷.由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(𝐴BCD)+P(A𝐵CD)+P(AB𝐶D)+P(ABC𝐷)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(𝐴)P(B)·P(C)P(D)+P(A)P(𝐵)P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(𝐶)P(D)+P(A)P(B)·P(C)P(𝐷)=34×23×34×23+2×14×23×34×23+34×13×34×23=23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.-20-考点1考点2考点3(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=14×13×14×13=1144,P(X=1)=2×34×13×14×13+14×23×14×13=572,P(X=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23×34×13+14×23×14×23=25144,P(X=3)=34×23×14×13+14×13×34×23=112,P(X=4)=2×34×23×34×13+34×23×14×23=512,P(X=6)=34×23×34×23=36144=14.-21-考点1考点2考点3可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望E(X)=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512+6×14=236.-22-考点1考点2考点3考向2变量取值概率为古典概型的分布列例3已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).-23-考点1考点2考点3解:(1)记第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品为事件A,则P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110−310=610.故X的分布列为X200300400P110310610E(X)=200×110+300×310+400×610=350.-24-考点1考点2考点3思考如何求古典概型的离散型随机变量的分布列?解题心得1.求古典概型的离散型随机变量的分布列,要注意应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的个数及事件A包含的基本事件的个数,然后应用古典概型的概率公式求概率.2.求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.-25-考点1考点2考点3对点训练3某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.-26-考点1考点2考点3解:(1)由已知,有P(A)=C31C41+C32C102=13.所以,事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C32+C32+C42C102=415,P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715,P(X=2)=C31C41C102=415.所以,随机变量X的分布列为X012P415715415随机变量X的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.-27-考点1考点2考点3考向3统计与随机变量分布列的综合例4(2017河南六市联考二模,理18)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内,发布成
本文标题:离散型随机变量及其分布列
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