中职数学6.2空间几何体

2020/4/21《第六章空间几何体》6.2空间几何体的表面积与体积2020/4/21【学习目标】1、了解空间几何体平面展开图的概念学会把有关例题几何问题转化为平面问题来处理2、了解柱、锥、球的表面积公式以及体积公式，会运用公式解决一些实际问题。6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积6.2空间几何体的表面积与体积2020/4/21n243aS2020/4/21侧面积、表面积和全面积•侧面积：指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）•表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）•全面积：全面积是针对空心的几何体而言，不仅需要外表面积还需要内表面积，两者之和就是全面积。特别说明：当几何体是实心的状态时，全面积=表面积侧面积所指的对象分别如下：棱柱----直棱柱。棱锥----正棱锥。另外：圆柱、圆锥、球共计5个公式定义：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥2020/4/21展开图2020/4/212020/4/212020/4/21几何体表面积展开图空间问题平面问题平面图形面积直棱柱、正棱锥都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的测面积？2020/4/212020/4/21【问题】多面体的平面展开图：将一些多面体沿着它的一些棱剪开（保持连接）而形成的平面图形。【思考】下面哪些图形是多面体的平面展开图？2020/4/21（1）直棱柱的侧面积：chchS直棱柱侧2020/4/21把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS)＝（直棱拄侧habcabchh2020/4/21chchS直棱柱侧底侧直棱柱全SSS2一般直棱柱的全面积：2020/4/21侧面展开'hc'21chS正棱锥侧底侧正棱锥全SSS'h（2）正棱锥的侧面积以及全面积：2020/4/21例1、已知正四棱锥S-ABCD的高SO和底面边长都是4，求它的侧面积.ABCDSOE,SEEBCOEO，连结于点作解：过点222tOESOSESOER中，在41620，所以52'SEh'21chS正棱锥侧因此，.516的侧面积是所以正四棱锥ABCDS5244215162020/4/212020/4/21思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？rlr2长＝宽＝llSSr2＝长方形圆柱侧长方形（3）圆柱的侧面积以及全面积：2020/4/21圆柱的侧面展开图是矩形2222()SrrlrrlOOrl2r底侧表面积SSS22020/4/21rl扇形（4）圆锥的侧面积以及全面积：rlclS21圆锥侧2020/4/21圆锥的侧面展开图是扇形r2lOr2rrlSSS底侧圆锥全2020/4/21例2、已知圆锥的底面半径为2，母线长为4.求（1）该圆锥的全面积.（2）侧面展开图的圆心角.,)1(积与它的底面面积的和该圆锥的全面积是侧面解：122422S因此，度），据弧长公式有：）扇形弧长（(18041804,4222nc.180圆心角的大小为所以它的侧面展开图的2020/4/212020/4/21oiSo（5）球的表面积2020/4/21用极限思想求球的表面积RSVii31将球的表面分割成n个小块，如果网格分的越细,则:RSRSRSRSVni3131313132...RSSSSSRni313132)...(①由①②得:334RV②球的体积:24πRSiSiVih的值就趋向于球的半径RRihiSOiV“小锥体”就越接近小棱锥。2020/4/21例3、如图，已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2.求球的表面积RO/OArdBC解：设截面圆圆心为,'O.'的中心是则点ABCO则设球半径为连结,,'RAO3322332'2AO24123322')(tRROAOR中，在34R所以，.49642RS因此，重心定理2020/4/21ABCDEF;)1(OCFBEAD相交于一点、、三条中线O【重心定理】.1:2:::)2(OFCOOEBOODAO2020/4/216.2.2、空间几何体的体积【学习目标】1、了解球的体积公式推导。2、掌握球的体积公式及其应用。6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积2020/4/21公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体=abc推论1、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。V长方体=sh推论2、正方体的体积等于它的棱长a的立方。V正方体=a32020/4/21公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ祖暅原理【说明】幂截面积势几何体的高2020/4/21定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积s和高h的积。V柱体=sh二：柱体的体积推论：底面半径为r，高为h圆柱的体积是V圆柱=r2h2020/4/21例4、如图示，有一堆规格相同的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么约有毛坯多少个？（铁的密度是7.8g/cm3）10612243正六棱柱解：因为V1052圆柱V)(7853mm)(956.2)(2956785374133cmmmV所以一个毛坯的体积为251956.28.75800）（又因为.251个因此这堆毛坯约有【思考】第二种解法？.求出体积再用公式先求毛坯的底面面积，ShV2020/4/21四、棱锥和圆锥的体积ABC'A'C'BBC'A'ABCShV31锥体ABC'A'C'B2020/4/21定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是：hSSＶ锥体＝Ｓｈ3131Ｖ圆锥＝πｒ２ｈSh2020/4/21例5、如图示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以截出一个棱锥C-A1DD1.求这个棱锥的体积与剩余部分的体积之比.,,111111hSAADDBBCCAADD，高为的面积为设它的底面柱解：将长方体看成四棱.ShV则它的体积为ShVhSDDAC213112111,,因此它的体积高为的底面积为棱锥V61.651VVV所以剩余部分的体积是ABCDA1B1C1D1.51：剩余部分的体积的比为因此这个棱锥的体积与【想一想】的几分之几？的体积是三棱柱、三棱锥1111111DDACCBDDAC的几分之几？的体积是长方体、三棱柱111111112DCBAABCDDDACCB31212020/4/21RROORR球的体积：一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。探究2020/4/21球1V=232=πR33球4V=πR3RROORR221πRR-πRR32020/4/21例6、如图所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球.求证：圆柱全球表圆柱球SSVV3232,R证明：设圆的半径为，则有R,334RV球,2232RRRV柱.32柱球所以VV底侧柱又因为SSS2,622222RRRR.4322柱球所以SRS2020/4/21欧拉定理2020/4/21例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？2020/4/21ABCDEF;)1(OCFBEAD相交于一点、、三条中线O【重心定理】.1:2:::)2(OFCOOEBOODAO2020/4/21AB.O14