运用导数解决含参函数问题

第5卷(2011年)中学课程辅导·教学研究Vol5．(2011)第2期第145—146页SecondarySchoolCurriculumCoaching·TeachingResearchNo．2P145-P146运用导数解决含爹函数问题廖助会摘要：导数不仅是高中数学的重要内容之一，也是高考的考查重点。本文从五个方面对含参函数问题进行了分析与研究，着重介绍利用导数解决这些问题的相应方法，以期对学生的备考有所帮助。关键词：高考；导数；含参函数中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1992—7711(2011)02-0145-02运用导数解决含参函数问题既是高中教学的重点和难点，又是历年高考的热点。这类问题既能全面地考查学生对导数及其运算的运用能力，又能综合地考查学生对函数与方程思想、分类与化归思想、构造思想、数形结合思想、等价变换思想等以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。这既体现了新的课程理念，又强调了数学的实际应用，有利于考查学生的实践能力。由于含参函数问题本身具有复杂性，大多数学生在解决这类问题时往往感到束手无策。本文结合近几年高考试题中出现的“含参函数”问题。从“已知函数的切线，利用导数求出参数的值”、“已知函数的单调性，利用导数求出参数范围”、“已知函数的最值，利用导数求出参数范围”、“已知函数的极值，利用导数求出参数范围”及“利用导数解决含参函数中的恒成立问题”五个方面对高考中出现的含参函数问题进行分析与研究．着重介绍利用导数解决这些问题的相应方法。以期对学生的备考有所帮助。一、已知函数的切线，利用导数求出参数的值已知函数的切线方程或切线斜率，可利用导数的方法求出切点坐标或求出曲线中的有关参数．进而可以研究曲线的其他性质。例1(2009年高考全国理科卷I)已知直线y=x+l与曲线y=ln(+口)相切，则a的值为()。A．1B．2C．一lD．一2解：设切点P(xo'Yo)，则yo=xo+1=In(xo+a)，·．=·‘=，，得o+a=l。o’oyo=O．Xo=一1．‘．a=2两者的区别：设函数y=厂()在某个区间内可导，若f)o(厂()0)，则f(x)为增函数(减函数)；反过来，若f(x)为增函数(减函数)，~1．f()I0(厂()≤0)。例2(2010年高考江西文科卷)设函数厂()=6x+3(a+2)x2+2ax。(1)若f(x)的两个极值点为，，且XlX：=1，求实数a的值：(2)是否存在实数0，使得厂()是(一∞，+o。)上的单调函数?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解：厂(x)=18xZ+6(a+2)x+2a(1)由题意可知，：，为f()=0的两根，从而2==l，得o=9；(2)因为△=36(0+2)—4x18x2a=36(a2+4)O．所以不存在实数o．使得f(x)是R上的单调函数。评注：若函数f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则在区间(a，b)内导函数厂()≥0或厂()≤0恒成立。三、已知函数的最值，利用导数求出参数范围函数的最值是指函数在某个区间上的最大(小)值。导数的引入拓展了高考数学命题的范围，摆脱了对二次函数的依赖，借助导数求高次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的最值。在解决这类问题时，经常用到分类讨论、等价转化及数形结合等数学思想，根据所给条件建立有关参数的关系．从而求得参数的取值范围。例3(2010年高考江西理科卷)设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(aO)，若厂()在(0，1】上的最大值为1，求a的值。故答案选B评注：本题根据导数的几何意义：函数在某点处的导数就是函数在该点处的切线的斜率，列出方程求得切点坐标，进而求出参数的值。二、已知函数的单调性。利用导数求出参数范围在给定的条件下，函数y=f(x)可能是单调的(增函数或减函数)，也可能不单调，要根据具体问题进行探究，判断出导函数f()的符号，列出方程或不等式求出参数的值或参数的取值范围。在利用导数解决函数的单调性问题时，要注意以下解：由题意可得()=÷一协碧+n，当∈(0，1】，f()0，即，()在区间(o，1】上是单调递增函数：故)在区间(0，1]上的最大值为厂(1)=1，即a=l。评注：本题通过导数得到函数f(x)的单调性，结合区间(0，1】的端点得到函数f(x)的最大值，从而确定参数作者简介：廖助会，任教于云南腾冲县第一中学。图l廖助会运用导数解决含参函数问题a的值。四、已知函数的极值，利用导数求出参数范围在解决这类问题时，将问题转化为研究函数的单调性，而函数的单调性问题又常常转化为含有参数的一元二次不等式问题，从而达到考查函数与方程、分类与化归、数形结合的数学思想。例4(2010年高考全国文科卷I)已知函数f(x)=3_3戳2+3x+1，且)在区间(2，3)中至少有一个极值点，求a的取值范围解：由题意可得：厂(=3xz-6ax+3，则△=(一6a)一4x3~3=36(a2_1)当A≤0即一1≤n≤1时，厂()t0，厂()为增函数，故厂()无极值点；当A0即Ⅱ一1或al时．f()=0有两个根l=Ⅱ一x／-dq，叶、／一1由题意知，2a一、／丁3①或2a+、／丁3②①式无解，②式解得要妻‘+j因此n的取值范围是《寺，昔J。评注：本题主要利用导数研究函数的单调性与极值问题，同时贯穿了函数与方程思想、数形结合思想、分类与化归思想。例5(2010年高考北京文科卷)设定函数)号x3+bx+cx+d(aO)，且方程()一9x=0的两个根分别为1，4o若厂()在(一。。，+oo)内无极值点，求a的取值范围。解：由)：x3+bx％cx+d得f(x)=ax2+2bx+c因为厂()一9x=ax2+2bx+c一=0的两个根分别为l、4，~．一,fa+2b+c9=O⋯Il6n+86+c36：0得26=9—5n，c=4a由于aO，所以‘)=a+bx+cx+d在(一o。，+。。)内无极值点”等价于‘厂(x)=axZ+2bx+c10在(一∞，+)内恒成立”所以{2b)2-4ac：9(1)(9)≤0得aEfl，9】因此a的取值范围是『1，91。评注：若可导函数)在区间(o，b)内无极值点，则在区间(a，b)内导函数f()≥0或厂()≤0恒成立。五、利用导数解决含参函数中的恒成立问题含参数的函数恒成立问题是高考热点题型之一，这类问题往往涉及面广，题目难度大．综合性强，解决此类问题所需的数学思想、方法较多。通过下面的例题介绍几种解决含参函数恒成立问题的方法。例6(2010年高考辽宁理科卷)已知函数)=(口+1)l础+2+1(a-I)，如果对任意l，∈(0，+。)，1)(2)f4Il，求a的取值范尉。解：由题意得：)的定义域为(0，+∞)，··f()：+2似：．2ax％a+1~0．．．‘厂()在(0，+)内为减函数。设任意X1，2∈(0，+∞)，且l≥2，则-厂(1)≤2)．’．LfCx1)—，(2)I14Il—2I2)f(xI)≥4(l—z2)即f(x2)+缸2≥厂(1)+缸l①令g(x)-f~x)+4x，贝0g，()-f，()+4：—±+2(+4：—2ax2+4x+a+l由①可知g()在(0，+∞)内为减函数，所以)：2oxZ+4x+a+l~0，从而。≤==一2故a的取值范围为(一o。，一21。评注：本题利用导数解决含参函数中的恒成立问题。其中采用了等价转化法、构造法与分离变量法。先通过导数得出函数f(x)的单调性，把恒成立问题转化成变量的关系式，并运用构造法构造出新函数g(x)；再从g()=—2ax％4x+a+l≤0中把所求参数Ⅱ分离出来从而使所，求参数。的取值范围转化成求==二一2．红+JZ。+l(0+∞)的最小值。本文借助导数这一数学工具，通过利用导数研究函数的单调性、最值、极值，把历年高考巾出现的含参函数问题分成五类进行分析，根据函数与方程思想、数形结合思想、分类与化归思想、等价转化思想等，得出解决含参函数问题的几种方法，如数形结合法、构造法、分类讨论法、变量分离法等。当然，运用导数解决含参函数问题的方法还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，对某些含参函数的问题，不一定用某种方法，而是几种方法的融合。参考文献：[1】曾安雄．巧用导数“导”出参数【J]．高中数学教与学，2010(6)．[2]梁小金．运用导数解决含参函数问题的策略[J】．高中数学教与学，2010(7)．(作者单位：云南腾冲县第一中学679100)ApplyingDiferentialCoeficienttoSolveFunctionContainingParameterLIAOZhuhuiAbstract：DifferentialscoeficientisnotnlyoneofimportantcontentsinseniorhighschoolmathematicsteachingbutalsothetestingpointinNMT．Thispaperanalyzesandstudiesfunctioncontainingparameterfromivefaspects，mainlyintroducingcorrespondingmethodsofapplyingdiferentialscoefficienttosolveproblems，hopingitishelpfultostudents’testpreparation．Keywords：NMT；differentialscoeficient；functioncontainingparameter2011．2lI围