数分：一元函数微分学习题课

一元函数微分学习题课第三章一、导数与微分的基本概念1．导数定义:2．导数的几何意义:0000000)()(lim)()(limlim)(0xxxfxfhxfhxfxyxfxxhx)(0xf为曲线在点的切线斜率。)(xfy))(,(00xfx)(xf在处可导0x且。)()(00xfxf)(0xf与都存在，)(0xf3.在处可导的充分必要条件：()fx0x二、极限、连续、可导与可微的关系处可导在0)(xxf处可微在0)(xxf处连续在0)(xxf存在)(lim0xfxxxxfxAdyxxAy)()(004.在处的可微定义：()fx0x三、求导法则1．四则运算求导法则2．反函数求导法则)()(])()([xgxfxgxf（1）)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf（2）)0)(()()()()()()()(2xgxgxgxfxgxfxgxf（3）函数在对应的内也可导，且)(1xfyxI)(1])([1yfxfdydxdxdy1或。设在区间内单调、可导且，则其反yI)(yfx0)(yf3．复合函数求导法则4．隐函数求导法则求导过程中牢记是的函数，方程中含有的yx))((xfyy项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。y5．参数方程求导参数方程确定可导函数，则)(,)(,)(ttytx)(xfy设及都是可导函数，则复合函数也是可导函数且。))((xgfy)(])([)(xgxgfxy)(xgu)(ufy由方程确定了，方程两端对求导，在0),(yxF)(xfyx)()(ttdxdydtdxdxdydtdtttdtddxyd)(1)()(22四、高阶导数定义及求导若函数的导函数仍然是可导函数，则将的)(xf)(xf)(xf导函数叫做函数的二阶导数。记作)(xfyxf)(22dxyd依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。)()1(xfn)(xfn记。nndxyd)()(xfn五、典型例题分析计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有解：00()(0)sin(0)limlim10xxfxfxfxx00()(0)ln(1)(0)limlim10xxfxfxfxx.1)0(,1)0()0(fff左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。【例1】设，问是否存在？0),1ln(0,sin)(xxxxxf)0(),0(),0(fff24)2(f【例2】设，求及。0,00,sin1)(2xxxxxf)2(f)0(f解：当时，0x222sin2sin)sin()(xxxxxxxf10sin1lim)0()(lim)0(200xxxxfxffxx及求导法则求出，故求应选用“先求，后求()fx()fx因而应用导数定义求。在处函数值”的方法。而是分段函数的分段点，0x2x分析当时，是可导函数，且可利用求导公式0x()fx()fx()2f【例3】设，已知在处可导，1,1,12)(2xbaxxxxf当当)(xf1x试确定的值。ba,为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导，得一个方程；又由函数在一点可导必要条件:(1)(1)ff在处连续，得第二个方程。()fx1x(10)(10)ff解此联立方程组，可求出。,ab分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以,ab()fx1x解：因为在处可导，所以在处连续；)(xf1x)(xf1x11)1/()1(lim11)1/(2lim1)1()(lim)1(221211xxxxxxfxffxxxaxaaxxbabaxxfxffxxx1lim1lim1)1()(lim)1(1112;1ba)1()(lim)(lim11fxfxfxx.1abbabaxxxx121lim112lim＝即)1()1(ff【例4】已知，求。,0,,0,sin)(xxxxxf)(xf解：当时，；0xxxxfcos)(sin)(当时，；0x1)()(xxf当时，0x1lim)0()(lim)0(00xxxfxffxx1sinlim)0()(lim)0(00xxxfxffxx综上，,0,1,0,cos)(xxxxf所以1)0(f【例5】设，求。xeyarctany解：xxeyx21)(112arctan)1(21arctanxxex解：)11(11xxeyxx)11(112111xxxxexx211)1()1()1(1121xxxxxexxxxexx113)1)(1(1【例6】设，求。xxey11y解：223|sincos3|43243attadtdxtt223|cossin3|43243attadtdytt【例7】求星形线在处的导数。taytax33sincos43t43|tdxdy1tancossin|cossin3sincos3||43224343tttttattadtdxdtdydxdyttt故22333cos360xyyxy解：方程两边对求导得x【例8】设是由方程所确定，)(xyy063sin33yxyx求。)0(y将代入0,0xy将代入原方程，0x得（2）0)0(y得21)0(y【例9】求函数的微分。xxy11arctan2221111121xxxxx211xxxxxy1111112解：所以dxxdxydy211分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。解：应用对数求导法。函数两边取对数得xxxysinlncoslnlnxxxxxxyysincoscossinlnsin1所以)cotcossinlnsin1()(sincosxxxxxxxyx方程两边对求导得x【例10】设，求。xxxycos)(siny13)5(21212xxxxyy【例11】设，求。32)1()5(xxxyy方程两边对求导得x分析是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、乘方形成的，应用对数求导法。y解：函数两边取对数得方程)1ln(23)5ln(21ln21ln2xxxy13)5(2121)1()5(233xxxxxxy所以0y【例12】设曲线方程,求此曲线上纵坐标32yxexy处的切线方程.02yyxyexy01，所以切点坐标为1xy则所求切线方程为1x解：先求切点坐标.将代入曲线方程得0y11y将代入上式,得0,1yx再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对求导，得x【例13】已知,设存在且不为零,求)()()(tftftytfx22dxyd)(tf解：因为ttftftfttftxtydxdy)()()()(所以)()(22tdxddxdydxddxyd)(1)(tfdxdttdtd【14】求的阶导数.xxylnn解：1lnxy11xxy2xy)1(2)1()()!2()1())2(()2)(1(nnnnxnxny3)4()2)(1(xy…)()(xfxf)(ln1)(lnxfxxf微分中值定理一、微分中值定理1．罗尔定理2．拉格朗日中值定理3．柯西中值定理)(xf在上连续,在内可导,则至少存在一],[ba),(ba),,(ba使).)(()()(abfafbf)(),(xFxf在上连续,在内可导,，],[ba),(ba0)(xF.)()()()()()(FfaFbFafbf)(xf在上连续,在内可导,且,],[ba),(ba)()(bfaf则至少存在一使.0)(f),,(ba则至少存在一使),,(ba三、三个定理之间的内在联系拉格朗日中值定理罗尔定理柯西中值定理二、判别的方法()fxC)()()()()()(FfaFbFafbf))(()()(abfafbf0)(fxxF)()()(bfaf0)(xf若Cxf)(，则四、典型例题定理的三个条件。【例1】若方程有一个正根,01110xaxaxannn0xx证明方程必有一个小于的正根.0x12011(1)0nnnanxanxa分析如果令，无法判定12011()(1)nnnfxanxanxa,所以不能利用零点定理,考虑利用罗尔定理证明。0(0)()0ffx的左端函数,其次在题设的相应区间上满足罗尔()0fx()Fx首先构造一个函数使，其中是欲证方程()()Fxfx()fx(),Fx证明:设,)(1110xaxaxaxFnnn).0(0)(0FxF由罗尔定理，存在使),,0(0x,0)(F即,0)1(12110nnnanana这说明就是方程0)1(12110nnnaxnanxa的一个小于的正根.0x上连续且可导，由题设易知多项式函数在)(xF],0[0x【例1】若方程有一个正根,01110xaxaxannn0xx证明方程必有一个小于的正根.0x12011(1)0nnnanxanxa【例2】证明方程至少有一个正根，023423cbacxbxax其中是任意常数。cba,,零点定理,考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数分析如果令，由于在32()432fxaxbxcxabc0x范围内,不能找到区间，使得,所以不能利用[,]ab()()0fafb432()()Fxaxbxcxabcx由于要证明方程至少存在根，所以，要在的范围内0x找到一个闭区间[,]ab，使得。通过观察()()FaFb432()()Fxaxbxcxabcx的系数，不难发现(0)(1)FF所以选取[,][0,1]ab，因此，对应用罗尔定理即可证明。()Fxcbacxbxaxxf234)(23证明：令]1,0[],[ba取区间显然在连续，在内可导，且)1()0(FF)(xF]1,0[)1,0(0)(f即0)(F应用罗尔定理知，存在，使得)1,0(xcbacxbxaxxF)()(234构造函数因此，方程至少有一个023423cbacxbxax正根。【例3】设在上连续,在内可导,且.)(xf],0[a),0(a0)(af证明存在一点使),,0(a.0)()(ff罗尔定理的条件，且从中能得出.()0F()()0ff()Fx由于结论是两项和，故为两个函数乘积的形式。将()()0xfxfx分析从结论看等价于方程()()0ff有实根，但若利用零点定理，无法验证，所以(0)()0ffa采用罗尔定理证明。关键是找,