高等数学课后习题解答-上海交通大学出版社-第三版-习题10解答

83第10章曲线积分与曲面积分1．计算下列对弧长的曲线积分：(1)sindCxys，其中C为3xtyt，(0≤t≤1)；(2)22()dCxysÑ，其中C为圆周cossinxatyat，(0≤t≤2π)；(3)2dCys，其中C为摆线(sin)(1cos)xattyat的第一拱(0≤t≤2π)；(4)dCys，其中C为抛物线y2=2x上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧；(5)()dCxys，其中C为以O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)为顶点的三角形的边界；(6)22dCxys，其中C为圆周x2+y2=ax(a0)；(7)dCzs，其中C为圆锥螺线cossinxttyttzt从t=0到t=1的一段；(8)2dCxs，其中C为圆周22243xyzz解答：(1)1112210000sind3sin31310sin310(coscos)Cxysttdtttdttttdt310(sin1cos1)；(2)22222230()d(sin)(cos)2CxysaatatdtaÑ；(3)22222223500d(1cos)(cos)(sin)16sin2Ctysataatatdtadt353025632sin15ada；(4)32222220011d1(1)(551)33Cysyydyy；(5)C可以分割为三条直线:0(01)OAyx，:0(01)OBxy，84:1(01)BAyxx()dCxys=()dOAxys+()dOBxys+()dABxys111000(1)2xdxydyxxdx21；(6)C为圆周x2+y2=ax(a0)；化为参数方程cos22sin2aaxtayt，(0≤t≤2π)，22222222000(1cos)dcoscos222222Cataattxysdtdtadta；(7)1220d(cossin)(sincos)1Czstttttttdt31221200112(2)(3322)33ttdtt；(8)C可以表示为参数方程cossin;0,23xyz222220dcossincosCxsd．所属章节：第十章第一节难度：一级2．已知半圆形状铁丝cossinxatyat(0≤t≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝的质量解答：2220dsin(sin)(cos)2Cmysatatatdta所属章节：第十章第一节难度：一级3．已知螺旋线cossinxatyatzbt(b0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t从0到852π一段弧的质量解答：2222222222223208()d()(2ππ)3Cmxyzsabtabdtabab所属章节：第十章第一节难度：二级4．求摆线(sin)(1cos)xattyat的第一拱(0≤t≤2π)关于Ox轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点到x轴的距离成正比，比例系数为k)解答：7223322223200d(1cos)(1cos)sin2(1cos)CIkysktatatdtkatdt23740102464sin235tkadtka所属章节：第十章第一节难度：二级5．计算下列对坐标的曲线积分：(1)ddCyxxy，其中C为圆弧cosπ,(0)sin4xattyat，依参数t增加方向绕行；(2)(2)d()dCayxayy，其中C为摆线(sin)(1cos)xattyat自原点起的第一拱；(3)dCxy，其中C为x+y=5上由点A(0，5)到点B(5，0)的一直线段；(4)CxydxÑ，其中C为圆周222()(0)xayaa及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)解答：(1)224400ddsin(cos)cossincos22Cayxxyatdatatdatatdt(2)(2)d()dCayxayy220[(2cos)(sin)(cos)((1cos))aaatdatataaatdata(3)5025d(5)2Cxyxdx(4)C分成两部分在2122()(0):xayaaC在x轴的上部逆时针方向，2C是从原点指向(2,0)a，则120222320π()02aCCCaxydxxydxxydxxaxadxxdxa蜒?所属章节：第十章第二节难度：一级866．计算22()ddOAxyxxyy，其中O为坐标原点，点A的坐标为(1，1)：(1)OA为直线段y=x；(2)OA为抛物线段y=x2；(3)OA为y=0，x=1的折线段解答：(1)122201()dd3OAxyxxyyxdx；(2)122243208()dd()15OAxyxxyyxxdxxdx；(3)设点B的坐标为(1，0)，则OA分为两段11222005()dd6OAOBBAxyxxyyxdxydy．所属章节：第十章第二节难度：一级7．计算22ddABxyxxy，其中点A、B的坐标分别为A(0，0)，B(1，1)：(1)AB为直线段y=x；(2)AB为抛物线段y=x2；(3)AB为y=0，x=1的折线段解答：(1)122202dd(2)1ABxyxxyxdxxdx；(2)1232202dd[2()]1ABxyxxyxdxxdx；(3)设点C的坐标为(1，0)，则AB分为两段112002dd011ABACCBxyxxydxdy．所属章节：第十章第二节难度：一级8．计算下列曲线积分：(1)222()d2ddLyzxyzyxy，其中L依参数增加方向绕行的曲线段23xtytzt(0≤t≤1)；(2)dd(1)dLxxyyxyz，L为从点A(1，1，1)到点B(2，3，4)的一直线段；解答：(1)1222466401()d2dd(43)35Lyzxyzyxzttttdt；(2)此时L写作参数方程121(01)31xtyttzt8710dd(1)d(14293)13Lxxyyxyztttdt．所属章节：第十章第二节难度：一级9．一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=a2(a0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功解答：20dcosLxdataFFF．所属章节：第十章第二节难度：一级10．设有力场的力，其大小与作用点到Oz轴的距离成反比(比例系数为k)，方向垂直且朝着Oz轴，试求当一质点沿圆周cos1sinxtyzt从点(1，1，0)到点(0，1，1)时力所作的功．注：本题已改动，否则点不在圆周上．解答:由题目可知222222(,,0)kxyxyxyxyF=.当一质点沿圆周cos1sinxtyzt从点(1，1，0)到点(0，1，1)时，y为常数，0dy，此时力所作的功为：0202122222201cos11dcosln(1)ln21cos122Lkxktktxdtdtktkttxyxy．所属章节：第十章第二节难度：三级11．把对坐标的曲线积分(,)d(,)dCPxyxQxyy化成对弧长的曲线积分，其中C为：(1)在xOy平面内沿直线y=x从点(0，0)到点(1，1)；(2)在xOy平面内沿抛物线y=x2从点(0，0)到点(1，1)；解答：(1)(,)d(,)dCCPxyxQxyydsFn，n为y=x的单位法向量，22(,)22n，1(,)d(,)d((,)(,))ds2CCCPxyxQxyydsPxyQxyFn；(2)n为2yx的单位法向量，2212(,)1414xxxn，882(,)2(,)(,)d(,)dds14CCCPxyxQxyPxyxQxyydsxFn．所属章节：第十章第二节难度：二级12．设L为曲线23xtytzt上相应于t从0到1的曲线段，试把对坐标的曲线积分dddLPxQyRz化成对弧长的曲线积分解答：n为曲线L23xtytzt的单位法向量，2242424222222123123(,,)(,,),149149149149149149ttxyttttttxyxyxyn2L223dddd149LLPxQyRPxQyRzdsSxyFn．所属章节：第十章第二节难度：二级13．设闭曲线C为正向圆周x2+y2=4，试就函数P=2x–y，Q=x+3y验证格林公式的正确性解答：格林公式(,)d(,)d()CDQPPxyxQxyydxdyxy，由于2200(2(4cos2sin)(2-)cos2(2cos6sin)sin3)Cdxdydydxxy202(210sincos)8d，()28DDQPdxdydxdyxy，所以格林公式正确．所属章节：第十章第三节难度：一级14．试利用格林公式计算下列曲线积分：(1)231(2)3CxyydxxxdyÑ，其中C以x=1、y=x及y=2x为边的三角形正向边界；(2)22CxydyxydxÑ，C为正向圆周x2+y2=a2；89(注：本题已改动，否则结果为0)(3)()d()dCxyxxyy，C为椭圆周22221xyab，取正向解答：(1)231111(2)12113222CDxyydxxxdydxdyÑ，D为C所围区域；(2)2222234001()π2aCDxydyxydxxydxdyddaÑ，D为C所围区域；(3)()d()d22CDxyxxyydxdyabÑ，D为C所围区域．所属章节：第十章第三节难度：一级15．利用曲线积分，求下列曲线所围图形的面积：(1)星形线33cossinxatyat；(2)椭圆9x2+16y2=144；(3)圆x2+y2=2ax解答：(1)222233332220001133dd{cossinsincos}sincos2228CxyyxatdttdtttdtaÑ；(2)椭圆9x2+16y2=144化为参数方程4cos3sinxtyt,2220001dd6{cossinsincos}6122CxyyxtdttdtdtÑ；(3)圆x2+y2=2ax化为参数方程cossinxatayat,222220001dd{(cos)sinsin(cos)}(1cos)222CaaxyyxatadtatdatatdtaÑ．所属章节：第十章第三节难度：二级16．验证下列曲线积分在xOy平面内与路径无关，并计算它们的积分值：(1)(2,2)(1,1)()d()dxyxxyy；(2)(3,4)2322(1,2)(6)d(63)dxyyxxyxyy；(3)(1,2)423(0,0)(21)d(4)dxyyxxxyy90解答：(1)因为1QPxy