高等数学课后习题解答-上海交通大学出版社-第三版-习题8解答

83第八章多元函数的定义1．求下列函数的定义域，并作图表示：（1）arcsin;3xzxy（2）2ln48;zyx（3）;zxy（4）;zxy（5）22222210;zRxyRrxyr（6）1.lnzxy解答：本题图略（1）30,03,0,0;xxyy（2）242yx；（3）,0xy；（4）xy且0y；（5）2222rxyR；（6）1.xy所属章节：第八章第一节难度：一级2．试用不等式表示由抛物线2yx和2yx所围成的区域（含边界）。解答：201,.xxyx所属章节：第八章第一节难度：一级3．设,,xfxyxyy求1,32f及1,1.f解答：15,3,1,12.23ff所属章节：第八章第一节难度：一级844．设22,tan,xfxyxyxyy求,.ftxty解答：2,,.ftxtytfxy所属章节：第八章第一节难度：一级5．设22,,xfxyxyy求,.fxy解答：令11uvuxyxvxvuyyv，代入原式得222(1)(,)()()111uvuuvfuvvvv，即2(1)(,)1xyfxyy注：如果题目是“设22,,yfxyxxy求,.fxy”则答案为令11uuxyxvyuvvyxv，代入原式得222(1)(,)()()111uuvuvfuvvvv，即2(1)(,)1xyfxyy。所属章节：第八章第一节难度：一级6．设22,0,xyyfxyxy求.fx解答：因为2221(/)/xyyxyfxyyx，85所以21()xfxx。所属章节：第八章第一节难度：一级7．设1,zyfx若当y=1时z=x，求函数f和z.解答：11xfx211(1)2(1)fxxxx22fxxx1.zyx所属章节：第八章第一节难度：二级8．求下列函数的间断点或间断线：（1）221;zxy（2）11;sinπsinπzxy（3）21;2zyx（4）1.zxy解答：（1）0,0；（2）xn或,0,1,2,ymmn；（3）22yx；（4）.xy所属章节：第八章第二节难度：一级9．求下列函数在指定点处的偏导数：（1）设,1,yfxyxy求1,1xf和1,1;yf（2）设,ln,2yfxyxx求1,0;xf（3）设22,zxyxy求34;xyzx86（4）设1arcsin,xzxyy求1.yzx解答：(1)1,11,1,12ln21xyff;(2)1,01xf;(3)3425xyzx;(4)11.yzx所属章节：第八章第三节难度：一级10．求下列函数对每个自变量的偏导数：（1）;xzxyy（2）333;zxyxy（3）sin;xyxzxyy（4）arctan;yzx（5）3;yzxyx（6）e;eexyxyz（7）22;xzxy（8）lntan.xzy解答：（1）21,xyxzyzxyy;（2）2233,33xyzxyzyx；（3）22sincosxyxxyxzyyxyyxy；222sincosyxxyxxxzyyxyyxy；（4）ln,2121yyxyyyyxxxzzxxx；（5）41323111,32xyzyxyzxyx；87（6）22eeeeeeee,eeeexyxyxxyxyyxyxyxyyyxxzz；（7）23/23/22222,xyyxyzzxyxy；（8）22222csc,csc.xyxxxzzyyyy所属章节：第八章第三节难度：一级11．求曲线22,44xyzy在点（2，4，5）处的切线与Ox轴的夹角。解答：2444xxyxz,切向量为(2,4,5)(2,4,5)(1,0,)(1,0,1)2xTuv。Ox轴的方向向量为iv则1cos2TiTiuvvuvv，π.4所属章节：第八章第三节难度：二级12．求曲线221,1zxyx在点1,1,3处的切线与法平面方程。解答：212xyyzy，则曲线的切向量为(1,1,3)(1,1,3)23(0,1,)(0,1,)32yTyuv则切线方程为331,31zyx法平面的方程3230.yz所属章节：第八章第三节难度：二级13．求下列函数的二阶偏导数：（1）2sin;zaxby（2）ln;xzy88（3）;yzx（4）arctan.1xyzxy解答：（1）2sincossin2,xzaaxbyaxbyaaxby2sincossin2;yzbaxbyaxbybaxby222cos2,2cos2,2cos;xxyyxyzaaxbyzbaxbyzabaxby（2）lnln1ln,lnxxxyzyyzyxlnln2ln2ln1lnlnln1,lnln1,;xxxxxyyxyyyxyzyzyxxzyxxy（3）1,lnyyxyzyxzxx2211,ln,1lnyyyxxyyxyzyyxzxxzxyx（4）22211()1(1)11()1xxyyxyzxyxyxxy同理211yzy222222,,0.11xxyyxyyxxyzzzzxy所属章节：第八章第三节难度：一级14．设ln,zxxy求22zx和2.zxy解答：ln()1xzxy11,.xxxyzzxy所属章节：第八章第三节难度：二级15．设22ln,zxy求2222.zzxy89解答：22221lnln()2zxyxy2222,xyxyzzxyxy22222222,xxyyyxxyzzxyxy0.xxyyzz所属章节：第八章第三节难度：二级16．设ln,zxy证明1.2zzxyxy解答：111111,22zzxyxyxxyy1111111222zzxyxyxyxyxxyy所属章节：第八章第三节难度：二级17．设2e,xyz证明20.zzxyxy解答：2223e,2exyxyzzyxyxy222222e(2e)0.xyxyzzxyxyxyxy所属章节：第八章第三节难度：二级18．验证ecosxzy满足方程22220.zzxy解答：ecos,esinxxzzyyxy2222ecos,ecosxxzzyyxy9022220.zzxy所属章节：第八章第三节难度：二级19．设,xyuxyz证明1.uuuxyz解答：2211,,.()()uuzxuxyxyzyyzzyz1.uuuxyz所属章节：第八章第三节难度：二级20．设lne+e,xyz证明2222220.zzzxyxy解答：,xyxyxyzezexeeyee22222222,,.()()()xyxyxyxyxyxyzeezeezeexeexyeeyee2222220.zzzxyxy所属章节：第八章第三节难度：二级21．求函数23zxy当2,1,0.02,0.01xyxy时的全增量和全微分。解答：(2.02,1.01)(2,1)0.204.zzzd(2,1)(2,1)40.02120.010.2xyzzxzy所属章节：第八章第五节难度：一级22．求函数yzx当2,1,0.1,0.2xyxy时的全增量和全微分。解答：(2.1,1.2)(2,1)0.071.zzz9111d(2,1)(2,1)0.10.20.07542xyzzxzy所属章节：第八章第五节难度：一级23．求下列各函数的全微分：（1）;xzy（2）22ln;zxy（3）22;xzxy（4）arctan;yzx（5）;zuxy（6）1.zxuy解答：（1）21dddxzxyyy；（2）222d2ddxxyyzxy；（3）23/222dddyxxyyzxy；（4）22dddyxxyzxy；（5）dddlndzzzuxyxyxyzxy；（6）111112211dddlnd.zzzxxxxxuxyzyzyyzyzyy所属章节：第八章第五节难度：二级24．求下列近似值：（1）2.0310.1;（2）331.021.97.解答：（1）设函数(,)yfxyx，显然要计算(10.1,2.03)f，取10,2,0.1,0.03xyxy，由于(10,2)100f，1(,),(,)ln.yyxyfxyyxfxyxx(10,2)20,(10,2)100ln10.xyff2.0310.1100200.1100ln100.03108.90892（2）设函数33(,)fxyxy，显然要计算(1.02,1.97)f，取1,2,0.02,0.03xyxy由于(1,2)3f，22333333(,),(,).22xyxyfxyfxyxyxy1(1,2),(1,2)2.2xyff3311.021.97.30.0220.032.952所属章节：第八章第五节难度：二级25．扇形中心角°60，半径R=20cm,若将α增加1°要使扇形面积不变，应把扇形的半径R减少多少？解答：题目转化为:°60,,203360rcm,函数为2211(,),,22SSSrrrrr求r.由全微分公式:(,20)(,20)(,20)(,20)3360333603SSSrSrr而(,20)(,20)33603SrS即(,20)(,20)33603SSrr解得10.176rcm所属章节：第八章第五节难度：三级26．设22,zxyyx而cos,sin,xryr求zr和z。解答：222(2)cos(2)sin3cossincossin,zzxzyxyyxxyrrxryr2233(2)sin(2)coscossin1sin22zzxzyxyyrxxyrrrxryr所属章节：第八章第四节难度：一级27．设2ln,zuv且,32,yuvyxx求zx和.zy解答：22222ln()(2)ln32,32zzuzvyuyyyuvyxxuxvrxvxxx