数学2-1,1.3.3函数的最值与导数

1.3.3函数最大（小）值与导数baf(a)f(b)一、复习回顾（1）如果在附近的左侧,右侧，那么是极大值．0x0)(0xf0)(0xf)(0xf（2）如果在附近的左侧,右侧，那么是极小值．0x0)(0xf0)(0xf)(0xf注：极值点导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点．。xf，x不是极值则两侧的符号相同如果在)()3(001.函数f(x)的极值与导数的关系：(1)确定函数的定义域(一般可省)；2.求可导函数f(x)的极值点和极值的步骤：(2)求出导数f´(x)；(3)令f´(x)=0，解方程；(4)列表：把定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内f´(x)的符号，判断f(x)的单调性从而确定极值点;(5)下结论，写出极值。极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.二、新课——函数的最值在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。x3x2abx1xOy观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.可以发现图中__________是极小值，_________是极大值。【探究一】13(),()fxfx()fb3()fx2()fxxoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值x3【探究二】观察函数图象，它们在[a,b]上有最大（小）值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？我们知道，如果在闭区间[a，b]上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间[a，b]换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？【探究三】oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).设函数在上有定义,则求在上的最大值与最小值的步骤如下：()fx[,]ab()fx[,]ab①求在内的极值(极大值与极小值);()yfx(,)ab②将函数的各极值与、作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。()yfx()fa()fb③结论解:24yx当变化时,的变化情况如下表:,yy例1.求函数在区间上的最大值与最小值.31443yxx[0,3]令,解得0y22或xxx又由于(0)4,(3)1ff（舍去）2－＋0(0,2)(2,3)x()fx()fx03↗↘43极小值41函数在区间上最大值为,最小值为43[0,3]4三、新知应用练习1.求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:.443xxy令,解得x=-1,0,1.0y当x变化时,的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.变式训练练习2.求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值.解：=3x2-6x+6=3(x2-2x+2))(xf因为在[-1,1]内恒大于0,)(xf所以f(x)在[-1,1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2。例2.已知函数(1)求的单调减区间;(2)若在区间上的最大值为,求该区间上的最小值.32()39,fxxxxa()fx()fx[2,2]20所以函数的单调减区间为(,1)(3,)，解:2(1)()369fxxx()0令fx23690即xx13解得:或xx应用2(2)()369fxxx令解得()0fx13或xx当变化时,的变化情况如下表:,yyx（舍去）↘-↗x()fx()fx(2,1)1(1,2)205a2极小值2a22a2220a2即a最小值为527所以函数的最大值为,最小值为(2)22fa5a例3.已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。a=2，b=3或a=-2，b=-29例4.已知a为实数，.（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.))(4()(2axxxf)(xf0)1(f)(xf)(xf1．下列说法正确的是()(A)函数的极大值就是函数的最大值(B)函数的极小值就是函数的最小值(C)函数的最值一定是极值(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则()fx()(A)等于0(B)大于0(C)小于0(D)以上都有可能3.函数y=432111432xxx,在［－1,1］上的最小值为()(A)0(B)－2(C)－1(D)1312ADA四、练习设函数在上有定义,则求在上的最大值与最小值的步骤如下：()fx[,]ab()fx[,]ab①求在内的极值(极大值与极小值);()yfx(,)ab②将函数的各极值与、作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。()yfx()fa()fb③结论五、小结六、作业：P32习题1.3A组第6题.