角的概念的推广与任意角的三角函数

第四章第一节角的概念的推广与任意角的三角函数泰安二中数学2019年8月24日星期六重点难点引领方向重点：1.终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法；2．角度数与弧度数的换算；3．三角函数的定义；4．各三角函数值在每个象限的符号；5．特殊角的三角函数值．难点：1.三角函数定义及符号．2．弧度制．基础梳理导学夯实基础稳固根基1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，按____时针方向旋转所形成的角叫做正角，按____时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．逆顺2．象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．角的_____落在第几象限，就说这个角是第几象限角．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．终边4．弧度制把长度等于_____长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位符号是rad，通常略去不写．度与弧度的换算关系如下：180°＝___rad,1°＝π180rad,1rad＝(180π)°.5．弧度制下弧长公式和扇形面积公式扇形弧长l＝______，扇形面积S＝_____.半径π|α|·r12lr6．任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x，y)，P到原点的距离是r(r＞0)，那么sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)分别叫做角α的正弦、余弦、正切．7．正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域y＝sinαRy＝cosαRy＝tanα{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示：三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．疑难误区点拨警示1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧度制，要么采用角度制，两者不可混用．2．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．解三角方程时，一定要注意终边相同的角．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋3π2，k∈Z}等．3．在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．4．正切函数y＝tanx的定义域是{x∈R|x≠kπ＋π2，k∈Z}，不是R.5．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的确定，不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况．6．下列概念应注意区分小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．7．三角函数定义中，角α的三角函数值仅仅与角α的终边位置有关，而与终边上点P的位置无关．思想方法技巧一、构造思想[例1]已知：α∈0，π2，求证：sinααtanα.分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明．证明：设角α与单位圆交于P，则MP＝sinα，AT＝tanα，如图所示，PA的长l＝α.连结AP.△POA的面积＝12OA·MP＝12sinα.扇形OAP的面积＝12l·OA＝12α.△OAT的面积＝12OA·AT＝12tanα.∵S△POAS扇形OAPS△OAT，即12sinα12α12tanα.∴sinααtanα.二、解题技巧1．利用三角函数的定义解决问题，一般可在角的终边上任取一点或取某个特殊点．2．解简单三角不等式通常是利用单位圆中的三角函数线求解．3．利用单位圆判断2α、3α、α2、α3所在象限问题．[例2]已知角α是第n(n＝1、2、3、4)象限的角，问α2是第几象限的角？解析：如图：把单位圆在各象限的圆弧都2等分(2是α2的分母)，从∠AOB开始逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止，则有标号n的就是α2所在象限数．如n＝4，α2是第二或第四象限的角．用同样的方法也可求α3，α4所在象限．上图左是求α3的方法，上图右是求α4的方法．一般地，要确定θn所在的象限，可以把各个象限都n等分，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是θ为第几象限的角时，θn终边落在的区域，θn所在的象限就可直观地看出．考点典例讲练[例1]若α是第二象限角，则α3是第______象限角．终边相同的角与角所在象限的判断解析：解法1：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z，∴k3·360°＋30°α3k3·360°＋60°，k∈Z.当k＝3n时，有n·360°＋30°α3n·360°＋60°，n∈Z，此时α3是第一象限角．当k＝3n＋1时，n·360°＋150°α3n·360°＋180°，n∈Z，∴α3是第二象限角．当k＝3n＋2时，n·360°＋270°α2n·360°＋300°，n∈Z，∴α3是第四象限角．综上所述知，α3为第一、二、四象限角．解法2：如图可知α为第二象限角时，α3位于第一、二、四象限．答案：一、二或四点评：准确判明角所在的象限，迅速进行角度和弧度的互化，熟练掌握终边相同的角的表示是学习三角函数知识必备的基本功．涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的问题，基本公式180°＝πrad在解题中起关键作用，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0＜α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍，若要求出在某一指定范围内的某种特殊的角，通常是化为不等式去求出对应的k值．另外，还要注意理解区间角的概念，并能掌握好α角的取值范围与2α、α2角的取值范围间的相互关系．已知α是第三象限的角，则α2为第________象限角．解析：∵2kπ＋πα2kπ＋3π2，k∈Z，∴kπ＋π2α2kπ＋3π4，当k＝2n(n∈Z)时，α2为第二象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，(2n＋1)π＋π2α2(2n＋1)π＋3π4，即2nπ＋3π2α22nπ＋7π4，∴α2是第四角限角．综上知，α2是第二或第四象限角．答案：二或四[例2]若sinθcosθ，且sinθ·cosθ0，则θ在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：由sinθ·cosθ0可知sinθ与cosθ异号，再由sinθcosθ可知其正负，即可判断出角θ所在象限．解析：由条件可知：cosθ0sinθ，则θ为第四象限角，故选D.答案：D(文)(2011·广州模拟)已知cosθ·tanθ0，那么角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角解析：∵cosθ·tanθ＝sinθ0，cosθ≠0.∴θ为第三、四象限角，故选C.答案：C(理)若sin2α0且cosα0，则α是()A．第二象限角B．第一或第三象限角C．第三象限角D．第二或第三象限角解析：∵sin2α＝2sinαcosα0，cosα0，∴sinα0，∴α为第三象限角．答案：C[例3](文)设角α终边上一点P(－4a，3a)(a0)，则sinα的值为()A.35B．－35C.45D．－45三角函数的定义解析：∵a0，∴r＝－4a2＋3a2＝－5a，∴sinα＝3ar＝－35，故选B.答案：B(理)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(1，－2)．则cos2α－π3的值为________．解析：∵P(1，－2)是角α终边上一点，由此求得r＝|OP|＝5，∴sinα＝－255，cosα＝55.∵sin2α＝2sinαcosα＝－45，cos2α＝cos2α－sin2α＝－35.∴cos2α－π3＝cos2αcosπ3＋sin2αsinπ3＝－35·12＋－45·32＝－3＋4310.答案：－3＋4310(2012·济南一模)已知α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．－43解析：由任意角的三角函数的定义可知xx2＋16＝15x，解得x＝3(舍去)或x＝－3，所以tanα＝－43，故选D.答案：D[例4]若θ是第三象限角，判断sincosθcossin2θ的符号．分析：确定符号，关键是看角所在象限．三角函数值的符号的判断解析：∵2kπ＋πθ2kπ＋3π2(k∈Z)，∴－1cosθ0,4kπ＋2π2θ4kπ＋3π，0sin2θ≤1，∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0.∴sincosθcossin2θ0.∴sincosθcossin2θ的符号是负号．点P(sin2014°，tan2014°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵2014°＝360°×5＋214°为第三象限角，∴tan2014°0，sin2014°0，∴点P在第二象限．答案：B[例5]已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1弧长公式的应用解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交AB于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝2sin1.∴选C.答案：C点评：本题是据弧长公式l＝|α|r求弧长，需先求半径．(文)P点从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．解析：由三角函数的定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3，y＝sin2π3，故Q点坐标为(－12，32)．答案：(－12，32)(理)一扇形的周长为20，当这个扇形的面积最大时，扇形的中心角为________rad.解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20.即l＝20－2r(0r10)．①扇形的面积S＝12lr，将①代入，得S＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．答案：2课堂巩固训练一、选择题1．若－π2α0，则点P(tanα，cosα)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]∵－π2α0，∴tanα0，cosα0，∴点P(tanα，cosα)在第二象限．2．(2011·秦皇岛模拟)已知α为第二象限角，则α2所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限[答案]C[解析]∵α为第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z.∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.设m∈Z，则当k＝2m时，α2为第一象限角；当k＝2m＋1时，α2为第三象限角．3．(2012·潍坊模拟)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4[答案]C[解析]由题意可知，cosα＝mm2＋9＝－45，又m0，解得m＝－4，故选C.二、填空题4．已知角α与3α的终边相同，α∈(0,2π)，则α＝______.[答案]π[解析]由条件知，3α＝α＋2kπ，∴α＝kπ(k∈Z)．∵α∈(0,2π)，∴α＝π.