第15讲-二次函数的最值和值域-基础

1二次函数课前引入二次函数2(0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．．教学目标1、掌握含参数二次函数在有限区间求最值的方法。2、在练习中让学生体会分类讨论思想；知识梳理分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a(xm)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为两种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论①②③④tt+s2s2典例精讲例1（★★）、当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．解析：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．变式练习（★★）、当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．解析：作出函数的图象．当1x时，min1y，当2x时，max5y．分析：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：3例2（★★★）当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．解析：函数21522yxx的对称轴为1x．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即1t时：当xt时，2min1522ytt；(2)当对称轴在所给范围之间．即1101ttt时：当1x时，2min1511322y；(3)当对称轴在所给范围右侧．即110tt时：当1xt时，22min151(1)(1)3222yttt．综上所述：2213,023,0115,122ttytttt分析：轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。变式练习（★★★）已知函数222xxxf，（1）若Raaax,2,，求函数的最小值；（2）Raaax,2,，求函数的最大值。解析：.3,106;13,1;1,2222minaaaaaaay.2,22;2,10622maxaaaaaay4例3（★★★）已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．解析：(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya．.分析：轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。变式练习（★★★）已知Rk，求函数322kxxy在区间2,1上的最大值。解析：.2,14;21,3;1,222maxkkkkkky回顾总结1、二次函数的最值要考虑哪些因素？2、如何分类讨论，分类讨论标准是什么？