混沌电路的模块化设计

混沌电路的模块化设计混沌电路的设计主要有个性化设计、模块化设计和改进型模块化设计三种方法。有些混沌电路通常是基于个性化设计方法，如著名的Chua电路等。个性化设计的优点是电路的元器件数量达到最少。缺点是需要很强的电路设计技巧和先验知识，一般不具有通用性和普适性。此外，很多混沌方程的电路设计是不能通过这种方法来实现的，如Lorenz电路就属于这种情况。通用化设计是一种基于无量纲状态方程的混沌电路的模块化设计方法。模块化设计的优点是具有普适性和通用性，缺点是需要较多的元器件。为了进一步减少元器件的数量，可在通用化设计的基础上提出一种改进型通用化设计方法。下面对模块化设计及其改进形式进行详细讨论和分析。1混沌电路模块化设计一般流程与实现框图混沌电路模块化设计流程图如图1所示，改进型模块化设计方法如图2所示。两者的主要差别在于，模块化设计过程中需要进行微分方程（即状态方程）到积分方程之间的转换，改进型模块设计则不需要进行这种转换，而是通过直接比较状态方程两边的参数值来确定各个元器件的取值。模块化设计一般原理实现框图如图3所示。下面作详细分析。无量纲混沌状态方程计算相图确定各变量取值范围超出器件动态范围?Yes变量比例压缩变换微分——积分转换时间尺度变换EWB仿真检验电路设计与硬件实现No无量纲混沌状态方程计算相图确定各变量取值范围超出器件动态范围?Yes变量比例压缩变换时间尺度变换比较状态方程确定元器件参数值EWB仿真检验电路设计与硬件实现No图1模块化设计流程图图2改进型模块化设计流程图反相加法比例运算器1反相积分器1反相器1反相加法比例运算器2反相积分器2反相器2反相加法比例运算器N反相积分器N反相器N1x−2x−Nx−1x2xNx1F2FNF选择所需的信号与输入端进行连接2f±1f±Nf±图3模块化设计的一般原理实现框图2变量比例压缩变换变量比例压缩变换有两种方法。第一种方法为变量比例均匀压缩变换，第二种方法为变量比例非均匀压缩变换。两种方法各有其优缺点，可根据实际需要选取其中的一种方法。均匀压缩变换比较简单，便于电路实现，但可能导致各个变量之间的取值相差较大。非均匀压缩变换比较复杂一些，但可根据实际需要，选取不同的压缩系数，能够使得各个变量的取值范围能基本趋于一致。2.1变量比例均匀压缩变换所谓变量比例均匀压缩变换，指的是各个变量的压缩系数相等的情况。对于均匀压缩变换，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===NNkuxkuxkux⋯2211式中k为比例压缩系数。2.2变量比例非均匀压缩变换所谓变量比例均匀压缩变换，指的是各个变量的压缩系数不相等的情况。设N阶无量纲连续时间混沌系统的状态方程仍如（1）式，对于非均匀压缩变换，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===NNNukxukxukx⋯222111式中Nkkk,,,21⋯为比例压缩系数。2.3应用实例以Hyper-Lü系统为例进行比例压缩变换。Hyper-Lü系统状态方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−=+−=++−=dwxzwbzxyzcyxzywayaxẋ̇̇̇（1）式中参数为1,20,3,36====dcba。对其变量比例变换，设压缩系数分别为4321,,,kkkk，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====44332211ukwukzukyukx（2）经变换后的方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=dwxzkkkwbzxykkkzcyxzkkkywkkykakaxx4313212311412̇̇̇̇（3）1）不压缩的情况，则1,1,1,14321====kkkk，得仿真结果如图1所示。2）均匀压缩的情况，设40,40,40,404321====kkkk，结果如图2所示。3）不均匀压缩情况，设40,12,8,64321====kkkk，结果如图3所示。图1不压缩的结果图2均匀压缩的结果图3非均匀压缩的结果3.混沌电路模块化设计的具体方法混沌电路模块化设计的主要思路是，根据无量纲状态方程，用模块化设计理念，设计相对应的混沌电路，一般由四个模块组成：反相器模块、反相积分器模块、反相加法比例运算器模块、非线性函数产生模块。设计过程主要分为五步：第一步，变量比例压缩变换。我们通常取电源电压为V15±，得运算放大器的线性动态范围为V5.13±，首先利用MATLAB对系统仿真，看其相图中的变量是否超出线性动态范围为V5.13±，如果没有超出，则不需要作变量比例压缩变换，若超出此动态范围，则需要作变量比例压缩变换；第二步，作时间尺度变换；第三步，作微分积分转换；第四步，考虑到模块电路中采用了反相加法比例运算器，作积分方程作标准化处理，第五步，根据标准积分方程，最后得相对应的模块化电路设计结果。在此基础上，通过EWB电路仿真证实其可行性。现举例说明这种设计方法。举例：分段Sprott系统模块化电路设计已知分段Sprott系统的状态方程为⎪⎩⎪⎨⎧⋅−=−=⋅=yyczyxbyzyax)sgn(1)()sgn(̇̇̇（4）式中参数为2.1=a,8.0=b,133.2=c。其MATLAB仿真结果如图4所示。试设计出对应的模块化混沌电路。图4参数2.1=a,8.0=b,133.2=c时分段Sprott系统混沌吸引子相图1）首先判断是否需要作变量比例压缩变换，从图4知相图中的变量未超出V5.13±的动态范围，故不需要作变量比例压缩变换。2）对（4）作时间尺度变换。根据前面的分析，将方程中的t变换成t0τ，其中0τ为时间尺度变换因子，并设为)/(1000CR=τ，这样设定的主要目的是能够和积分器的积分常数联系起来。进而得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅−=−=⋅=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅−=−=⋅=⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅−=−=⋅=])sgn(1[1)]([1])sgn([1])sgn(1[)]([])sgn([)sgn(1)()()()sgn()(000000000000yycCRdtdzyxbCRdtdyzyaCRdtdxyycdtdzyxbdtdyzyadtdxyyctddzyxbtddyzyatddxττττττ（5）3）作微分——积分转换，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅−=−=⋅=∫∫∫dtyycCRzdtyxbCRydtzyaCRx])sgn(1[1)]([1])sgn([1000000（6）4）考虑到模块中采用了反相加法比例运算器，将（6）式作标准化处理，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅−−⋅−=−−−=−⋅−=∫∫∫dtyycCRzdtbyxbCRydtzyaCRx])sgn()1(1[1)])([1)]()sgn([1000000（7）5）根据（7）式，得对应的模块化电路设计结果如图5所示。yy−xx−0R0Rk50k50Ωk10Ωk10Ωk1000CnF33Ωk10x−zz−0Rk50Ωk10Ωk1000CnF33Ωk10Ωk100CnF33yΩk100k33.8)sgn(yz−Ωk125k7.4yΩk125V1−)sgn(yΩk100yΩk1k5.13)sgn(y图5分段Sprott系统的模块化电路设计结果4改进型混沌电路模块化设计混沌电路模块化设计主要优点是十分直观，电路参数很容易计算出来，便于调试，但其主要缺点是元器件数量较多。此外，电路仿真与实验结果表明，对应某些混沌方程设计的电路，仿真和实验结果的精度不高。在此基础上，我们给出第二种设计方法，即改进型混沌电路的模块化设计。主要优点是仿真和实验结果的精度高于规范型混沌电路，元器件数量最少。主要缺点是电路参数的计算不直观。例如，对于状态方程dxyczbyaxx+−+=̇（8）作时间尺度变换，令t0ττ=，0τ为时间尺度变换因子，设1000=τ。得)()()(0000ydxczybxax−−−−−−−=ττττ̇（9）式中各个参数0,,,dcba，其对应的基本电路单元的通用形式如图6所示。x1R1C2R3R4Rzy−1.0xCi1i2i3i4i10/xyu−=ux−y−图6（9）式所对应的基本电路单元的通用形式通过对上述分析，我们对基本电路单元的设计作如下总结。1）首先必须对状态方程作时间尺度变换，即令t0ττ=，0τ为时间尺度变换因子，可根据不同的状态方程以及实际情况来确定其大小，例如设1000=τ等等。一般而论，0τ越大则在时间域中的变化速度越快，相轨迹越密集。反之，0τ越小则在时间域中的变化速度越慢，相轨迹越稀疏。2）状态方程右边每一项的前面必须有一个负号。如果这个条件不满足的话，可通过变换其变量的形式（即将原变量变换成反变量）得到其标准形式。5Lorenz系统的改进型模块化电路设计Lorenz系统的状态方程为⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=+−=bzxyddzyxzcxddyayaxddxτττ///（10）式中28,3/8,10===cba。由于其变量的动态范围超出了V5.13±，故首先需要作变量比例压缩变换，对其均匀压缩10倍后，并将参数代入（10）式，得⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=+−=zxyddzyxzxddyyxddx)3/8(10/1028/1010/τττ（11）作时间尺度变换，令t0ττ=，1000=τ，得⎪⎩⎪⎨⎧−−−=−−−−=−−−=zyxdtdzyxzxdtdyyxdtdx)3/800()(1000/1001000)(2800/)(10001000/（12）由（12）式所对应的改进型模块电路设计结果如图7所示。xxy−yyy1.010/xzxx−xzzz1.010/xy−x−y1R1C2R3RΩk10Ωk104R5R6R7R7RΩk10Ωk108R9R10R2C3C图7Lorenz系统的改进型模块化电路设计根据图7，得其状态方程为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧−−−=−−−−=−−−=zCRyxCRdtdzyCRxzCRxCRdtdyyCRxCRdtdx3931025262814111)(1011101)(1)(11（13）设图7中的电容为nFCCC10321===，比较（12）式和（13）式，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧Ω=××==→=Ω=×××=×=→=Ω=××==→=Ω=×××=×=→=Ω=××==→=Ω=××===→==−−−−−−kCRCRkCRCRkCRCRkCRCRkCRCRkCRRCRCR37510108003800313800101010100010110001011011000100010101001100111001010101000101100010110110007.3510102800128001128001001010100011000111100093939931031092525926269282891411411（14）（19）