直线与双曲线位置关系典例精析

1/9直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线bkxy交双曲线于111,yxP，222,yxP，则21221222121411xxxxkkxxPP，或04111121221222121kyyyykkyyPP．二、基础自测1．经过点2,21P且与双曲线1422yx仅有一个公共点的直线有（）(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条2．直线y=kx与双曲线16422yx不可能（）（A）相交（B）只有一个交点（C）相离（D）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622xy的通径长是(A)49(B)29(C)9(D)104．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线822yx的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l在双曲线12322yx上截得的弦长为4，且l的斜率为2，求直线l的方程．2/9三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线1kxy与双曲线422yx没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=2()40ba，所以2ba，2221()5cabbeaaa，故选D.2．(2010·安徽)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.1515,33B.150,3C.15,03D.15,13解：由y＝kx＋2，x2－y2＝6得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴222121210164110000kkkxxxx，解得－153k－1.3、过点(7,5)P与双曲线221725xy有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。3/9题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.过双曲线1322yx的左焦点1F，作倾斜角为6的弦AB，求⑴AB；⑵ABF2的周长（2F为双曲线的右焦点）。5.已知双曲线方程为3322yx，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式△0进行验证即可．6.双曲线方程为3322yx.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明4/9理由．7、已知中心在原点，顶点12,AA在x轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l经过12APA的重心G，与双曲线交于不同的两点,MN，问是否存在直线l使G平分线段MN。试证明你的结论。题型三：求双曲线方程8.已知焦点在x轴上的双曲线上一点P，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2xy被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．9、设双曲线01:222ayaxC与直线1:yxl相交于不同的点A、B.⑴求双曲线C的离心率e的取值范围；5/9⑵设直线l与y轴的交点为P，且PBPA125，求a的值。解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线x2a2－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①由题设条件知，1－a2≠04a4＋8a2－a2，解得0a2且a≠1，又双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1，∵0a2且a≠1，∴e62且e≠2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵PA→＝512PB→，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)．∴x1＝512x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2，消去x2得，－2a21－a2＝28960，∵a0，∴a＝1713.10.已知双曲线的焦点为0,1cF，0,2cF，过2F且斜率为53的直线交双曲线于P、Q两点，若OQOP(其中O为原点），4PQ，求双曲线方程。11.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA6/9由倍角公式22431baba，解得12ba,则离心率52e．（Ⅱ）过F直线方程为()ayxcb,与双曲线方程22221xyab联立，将2ab，5cb代入，化简有2215852104xxbb222121212411()4aaxxxxxxbb将数值代入，有2232528454155bb,解得3b故所求的双曲线方程为221369xy。12、已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且0OQOP.求1|OP|2＋1|OQ|2的值．解：(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立x24－y212＝1，得22222123123xkkyk∴|OP|2＝x2＋y2＝12k2＋13－k2.则OQ的方程为y＝－1kx，同理有|OQ|2＝22112113kk＝12k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋3k2－112k2＋1＝2＋2k212k2＋1＝16.7/913．(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．解：(1)双曲线C1：22112xy，左顶点A2,02，渐近线方程为：y＝±2x.过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为222yx，即y＝2x＋1.解方程组221yxyx，得2412yy.∴所求三角形的面积为S＝12|OA||y|＝28.(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，∵直线PQ与已知圆相切，∴|b|2＝1，即b2＝2.由2221yxbxy得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则1221221xxbxxb又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，∴OPOQ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝22，则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx(显然22k)，则直线OM的方程为y＝－1kx.由2241ykxxy得22222144xkkyk∴|ON|2＝1＋k24＋k2.同理|OM|2＝1＋k22k2－1.设O到直线MN的距离为d.∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，∴1d2＝1|OM|2＋1|ON|2＝3k2＋3k2＋1＝3，即d＝33.综上，O到直线MN的距离是定值．8/9五、能力提升1．若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线122yx总有公共点，则b的取值范围是（）(A)3,3(B)]3,3[(C)2,2(D)2,22．过双曲线1222yx的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条3．过点abP,1的直线l与双曲线0,012222babyax有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A)2(B)4(C)1或2(D)2或44.已知双曲线0,012222babyax的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A)(1，2](B)（1，2)(C)[2，+∞)(D)(2，+∞)6．直线2:kxyl与双曲线6:22yxC的右支交于不同两点，则k的取值范围是．7.已知倾斜角为4的直线l被双曲线60422yx截得的弦长28AB，求直线l的方程．8.设直线13:xyl与双曲线于0,012222babyax相交于A、B两点，且弦AB中9/9点的横坐标为21．(1)求22ba的值；(2)求双曲线离心率．9.已知双曲线0,012222babyax的离心率21e，左、右焦点分别为1F、2F，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得1PF是P到l的距离d与2PF的等比中项？