H∞设计的m函数

H∞设计的m函数2006年04月15日目录•广义对象的求取•连续系统H∞设计的m函数•离散系统H∞设计的m函数标准的H∞问题的框图如图１所示，图中G为系统的广义对象，K为控制器。G(s)K(s)wzyu图1求解图１中对象G的方法有两种：1.m函数调用法2.直接求取法一．广义对象的求取图2加权灵敏度问题下面通过图2所示的加权灵敏度问题的例子来看一下如何通过m函数调用来求取系统的广义对象G。KyuPWwzyp1.m函数调用法系统除去控制器K以外的部分就是广义对象G，它是两入两出的，输入信号是w和u，输出信号是z和y。可用传递函数表示为11122122GGWWPGGGIPzwGyz20(),(20)(1)sPsss100()1Wss设图2中的对象P和灵敏度权函数W分别为将参数代入，可以得到广义对象G为2100100(20)(1)(20)(1)(20)1(20)(1)sWWPsssGIPsssG送进去以后，调用下面的三个m函数，就可以得到广义对象G的状态空间实现[A,B,C,D]=ssdata(sys)sys=minreal(ss(G))yuwzKPWyp图2加权灵敏度问题G通过下面的函数送进去G=[tf([0100],[11])，tf([-1002000],[1224120])；1，tf([-120],[12120])]G=ltisys(A,B,C,D)这个G就是我们求解问题时所用的G，它是这样送进去的。用上面的函数调用法来求取G的状态实现，是非常简单的。但是从上面的结果可以看出，用这种方法得到的状态变量纯粹是数值上的运算，脱离了物理概念。本例中得到的广义对象G0.8813.44356.63164.42590.63683.792418.92965.69782.70292.64452.87472.25872.19055.55940.77545.65364.652711.2247000.50590.32770.243410ABGCD图2加权灵敏度问题KyuPWwzyp根据结果只能知道这个广义对象的输入输出之间的关系，这几个状态变量之间的关系与实际的物理系统之间的状态没有直接联系，没有物理意义。下面我们仍用上面的例子，用直接建立状态变量的方法来求取广义对象G的状态空间实现(A,B,C,D)。首先来求对象P的状态空间实现。设被控对象P的状态变量为x1和x2，根据P的传递函数可以得到如下的状态方程：1122122040pppxxuxxxuyxppppppppppxAxBuyCxDu2.直接求取法20401()1(20)(1)(20)(1)sPsssss20040111010ppppABCD设权函数W的状态变量为x3，根据W的传递函数，可以得到权函数W的状态空间实现110010100()1Wss根据图2中各信号的关系，进一步可以得到广义对象G的状态空间实现为图2加权灵敏度问题KyuPWwzyp2000040001100100100110000000010001001010ppWp前面讲的这部分内容是关于广义对象G如何送进去，这里我们讲了两种方法：1.m函数调用法；2.直接求取法。接下来要讲的是第二部分的内容：连续系统H∞设计的m函数。1.函数hinfsyn该函数用来计算系统的H∞控制器k，函数的调用形式为：[k,g,gfin]=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)该函数用的是“DGKF文献”中的算法：(1)Doyle,J.C.,K.Glover,P.Khargonekar,andB.Francis,State-spacesolutionstostandardH2andH∞controlproblems,IEEETransactionsonAutomaticControl,vol.34,no.8,pp.831-847,August1989.(2)Glover,K.,andJ.C.Doyle,State-spaceformulaeforallstabilizingcontrollersthatsatisfyanH∞normboundandrelationstorisksensitivity,SystemsandControlLetters,vol.11,pp.167-172,1988.二．连续系统H∞设计的m函数该函数用来计算系统的H∞控制器k，函数的调用形式为：[k,g,gfin]=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)其中输入变量中的G为如下定义的两入两出的广义对象，也是我们第一部分内容里所讲的用G=ltisys(A,B,C,D)送进去的G。1.函数hinfsyn1211112221222000040110010100110000010001010ABBABGCDDCDCDDnconnmeasGwzyuG:系统的广义对象；nmeas:连接到控制器的测量输出的个数；ncon:控制输入的个数；gmin:的下界；gmax:的上界；tol:的迭代精度；k:H∞最优控制器；g:闭环控制系统；gfin:最终的值；[k,g,gfin]=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)算例：PS/T混合灵敏度问题本例的H∞问题是要求解如下的有约束的优化设计问题KPW1wuy+z1z2W2图3PS/T问题220.01(1)(0.0051)()(0.0021)ssWss21()(0.001)Pss1()0.001Wss图3中参数如下：12minstabKWPSWT图中除去K以外的部分就是广义对象G按照我们第一部分内容所讲的方法把参数送进去以后，得到系统广义对象G的状态空间实现矩阵如下：0.00100001000244.140600,010240000000.001000010.001A6610100128001100B10000078.027323.822800,00001C0.0000010.00000100012.5D由于调用函数hinfsyn时对象要满足假设中秩的要求，设计中取Dp=10-6，以后第4章讲DGKF法时还要提到。广义对象G由下面的函数送进去：G=ltisys(A,B,C,D)本例中函数的调用形式如下：hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)[k,g,gfin]=hinfsyn(G,1,1,0.1,2,0.0001)函数调用中的迭代过程如下：gammahamx_eigxinf_eighamy_eigyinf_eignrho_xyp/f2.0006.8e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p1.0506.7e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.5756.6e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p121111222122ABBABGCDDCDCDD设计中权函数W1中的是可变的，要取尽可能的最大值，这里给出的是当取1000时的迭代过程。1()0.001Wss0.3386.2e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.2195.3e+000-3.3e-003#1.0e-003-1.9e-0170.0000f0.2785.9e+000-2.9e-002#1.0e-003-1.9e-0170.0000f0.3086.1e+000-4.4e-001#1.0e-003-1.9e-0170.0000f0.3236.1e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.3156.1e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.3126.1e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.3106.1e+000-1.3e+000#1.0e-003-1.9e-0170.0000f0.3116.1e+000-1.6e+002#1.0e-003-1.9e-0170.0000f0.3116.1e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.3116.1e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.3116.1e+0001.2e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000p0.3116.1e+0001.3e-0161.0e-003-1.9e-0170.0000pGammavalueachieved:0.31071逐渐增大，当增大到100000时，，这就是最终的设计结果。1.0067函数调用中的迭代过程如下：gammahamx_eigxinf_eighamy_eigyinf_eignrho_xyp/f2.0002.1e+0014.6e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0501.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p0.5751.4e+001-9.1e-004#1.0e-0030.0e+0000.0000f0.8131.8e+001-3.5e+000#1.0e-0030.0e+0000.0000f0.9311.9e+001-1.4e+001#1.0e-0030.0e+0000.0000f0.9911.9e+001-7.9e+001#1.0e-0030.0e+0000.0000f1.0201.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0051.9e+001-1.1e+003#1.0e-0030.0e+0000.0000f1.0131.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0091.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0071.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0061.9e+001-4.2e+003#1.0e-0030.0e+0000.0000f1.0071.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0071.9e+001-1.6e+004#1.0e-0030.0e+0000.0000f1.0071.9e+0014.7e-0131.0e-0030.0e+0000.0000p1.0071.9e+001-5.1e+004#1.0e-0030.0e+0000.0000fGammavalueachieved:1.0067设计所得的H∞控制器：2626144143605589.224(500)(500)(47.071049)()(1.646*10)(231.2)(0.001)(0.0021*10)ssssKssssss设计所得的闭环系统的奇异值Bode图如图4所示，图4闭环系统奇异值Bode图10-2100102104106108-35-30-25-20-15-10-505SingularValuesFrequenc