【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第四节 指数函数课件

第四节指数函数考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解指数函数模型的实际背景;(2)理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.指数幂的化简与求值★指数函数是一种特殊的函数,主要分指数幂的运算与指数函数两大内容,而指数函数又通常以其性质及图象为依托,结合推理、运算来解决问题,指数函数与其他函数进行复合来考查比较多,底数多含参数,考查分类讨论思想.指数函数的图象及应用★★★★指数函数的性质及应用★★★★★1.根式根式的概念符号表示备注一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(其中n1,且n∈N*)n1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数𝑎𝑛零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数±𝑎𝑛(a0)负数没有偶次方根2.两个重要公式①当n为奇数时,ann=a;当n为偶数时,𝑎𝑛𝑛=|a|=𝑎(𝑎≥0),-𝑎(𝑎0).②(𝑎𝑛)n=a.3.幂的有关概念(1)正整数指数幂:an=a·a·a·…a=an(n∈N*)(注:n个a);(2)零指数幂:a0=1(a≠0);(3)负整数指数幂:a-p=1𝑎𝑝(a≠0,p∈N*);(4)正分数指数幂:𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*且n1);(5)负分数指数幂:𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*且n1);(6)零的正分数指数幂等于0,零的负分数指数幂无意义.4.有理指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).5.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域R值域(0,+∞)性质单调性单调递增单调递减函数值的变化规律恒过定点(0,1)当x0时,y1;当x0时,0y1当x0时,0y1;当x0时,y16.常用的数学方法与思想分类讨论思想、数形结合思想.1.判断下列说法是否正确(打“”或“×”).(1)(-2)44=-2.()(1)×(2)函数y=2x-1是指数函数.()(2)×(3)函数y=a-x是R上的增函数.()(3)×(4)函数y=141-𝑥的值域是(0,+∞).()(4)2.设a=0.23,b=30.2,c=ln0.2,则a,b,c的大小关系是()A.bacB.bcaC.cbaD.abc2.A【解析】0a=0.231,b=30.21,c=ln0.20,所以bac.3.函数y=e-x2的图象大致是()4.若x+x-1=3,则𝑥12+𝑥-12=,x2+x-2=.4.57【解析】∵(𝑥12+𝑥-12)2=𝑥+𝑥−1+2=5,∴𝑥12+𝑥-12=5,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.考点1指数式计算典例1计算下列各式;(1)1681-14+18-23+(-3)2-20.【解题思路】分别求解分数指数幂与根式的值,再进行加减运算即可.原式=234-14+123-23+9−1=32+4+3−1=152.【参考答案】152(2)𝑎3𝑏2ab23(a14b12)4a-13b13(a0,b0).【解题思路】把分数指数幂与根式统一化为分数指数幂进行化简,同时相同字母要合并.原式=a3b2a13b23(ab2)a-13b13=a103b83a23b73=a53b43a23b73=ab-1.【参考答案】ab-11.化简或求解原则(1)化根式为分数指数幂;(2)化负指数为正指数;(3)化小数为分数;(4)注意运算顺序.2.计算结果形式(1)若题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示;(2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂的形式给出;(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.注:对于条件求值问题,先化简变形,再整体代入,简化运算.【变式训练】化简81×9234.376【解析】原式=[34×(923)12]14=3×316=376.★备用练习已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=2𝑥-1𝑥∈[0,1],(𝑥-2)2𝑥∈(1,+∞),则f(f(-3))=()A.1B.-1C.7D.-7B【解析】由于f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-(3-2)2=-1,所以f(f(-3))=f(-1)=-f(1)=-(21-1)=-1.考点2指数函数的图象与应用典例2(2016·海南海口一中模拟)已知f(x)=ax,g(x)=logax(a0且a≠1),若f(3)g(3)0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()【解题思路】对y=ax分0a1与a1,同时利用f(3)g(3)0来确定.若a1,则对应选项B,但此时f(3)g(3)0,与已知条件不相符;若0a1,则两图象同时符合的只有选项C,且此时f(3)g(3)0与已知条件也相符合,选项A,D不符合,综合可知只有选项C正确.【参考答案】C指数函数图象的画法及应用(1)利用y=ax作为基本图象进行变换作图(平移、对称、翻折),并关注三个点:(0,1),(1,a),-1,1𝑎;(2)单调性、最值等问题通常借助于图象、数形结合来处理;(3)一些指数方程、不等式问题等通常可借助指数函数模型求解.【变式训练】函数f(x)=(x-a)(x-b),其中ab的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是()【答案】A【解析】由二次函数的图象可知b-1,0a1,所以g(x)=ax+b为减函数,且将指数函数y=ax向下平移|b|个单位即可得到,观察知A项正确.考点3指数函数的性质与应用命题角度1:比较大小典例3(1)(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba【解题思路】对于f(x)=2|x-m|-1,由于其是R上的偶函数,则有f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1=f(x)=2|x-m|-1,则有|x+m|=|x-m|,即m=0,所以f(x)=2|x|-1,其在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,且自变量x越靠近0对应的函数值越小,而log0.53=-log23,2m=0,则有2m|log0.53|log25,故有f(2m)f(log0.53)f(log25),即cab.【参考答案】C命题角度2:解不等式(2)(2015·江苏高考)不等式2𝑥2-𝑥4的解集为.【解题思路】利用指数函数的性质化为整式不等式.由2𝑥2-𝑥4=22,可得x2-x2,即x2-x-20,解得-1x2.【参考答案】(-1,2)(1)比较大小通常利用指数函数的单调性及与1的大小关系;(2)解指数不等式通常是利用其单调性转化为整式不等式求解;(3)求函数的值域、单调区间应先求定义域,再结合复合函数y=f[g(x)]的值域,应先求内层u=g(x)的取值范围,再根据u的取值范围去求y=f(u)的取值范围,即为所求.对于复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得,利用“同增异减”确定.【变式训练】设y1=40.9,y2=80.44,y3=12-1.5,则()A.y2y3y1B.y3y1y2C.y1y3y2D.y1y2y3【答案】C【解析】40.9=21.8,80.44=21.32,12-1.5=21.5,而函数y=2x单调递增,又1.321.51.8,所以21.821.521.32,即y1y3y2.用化归思想解与指数有关的复合函数类型1:y=af(x)型可用换元法化归成y=at与t=f(x),函数的定义域与t=f(x)相同,值域与t=f(x)的值域及指数函数y=at的单调性有关;类型2:y=a2x+b·ax+c型可用换元法化归成二次函数y=t2+bt+c进行研究.典例是否存在实数a,使函数y=a2x+2ax-1(a0且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14?【参考答案】令t=ax,则y=t2+2t-1.当a1时,∵x∈[-1,1],∴ax∈1𝑎,𝑎,即t∈1𝑎,𝑎,∴y=t2+2t-1=(t+1)2-2在1𝑎,𝑎上是增函数对称轴𝑡=-11𝑎,∴当t=a时,ymax=(a+1)2-2=14,∴a=3或a=-5,∵a1,∴a=3.当0a1时,t∈𝑎,1𝑎.∵y=(t+1)2-2在𝑎,1𝑎上是增函数,∴ymax=1𝑎+12-2=14,∴a=13或a=-15,∵0a1,∴a=13.综上,a=3或a=13.【针对训练】求f(x)=(ax)2+2ax+2(a0,且a≠1)的值域.【解析】设ax=t(t0),换元后变为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1,∴f(t)2,∴f(x)=(ax)2+2ax+2的值域为(2,+∞).