【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念与线性运

第四章平面向量考情分析考点20152014201320122011平面向量的概念与线性运算平面向量的基本定理与坐标表示新课标卷Ⅰ,T7,选择;新课标卷Ⅱ,T13,填空考情分析考点20152014201320122011平面向量的数量积新课标卷Ⅰ,T5,选择新课标卷Ⅱ,T3,选择新课标卷Ⅰ,T13,填空;新课标卷Ⅱ,T13,填空新课标卷,T13,填空新课标卷,T10,选择平面向量的综合应用第一节平面向量的概念与线性运算考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解向量的实际背景;(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义;(3)理解向量的几何表示;平面向量的基本概念★★从近几年的考题来看,向量的基本概念与线性运算及向量共线是高考中的常考点,多以选择题、填空题形式出现,难度以中易档题为主线,平面向量的线性运算★★★★★共线向量定理与应用★★★考纲概述考查热点考查频次备考指导(4)掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义;(5)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;(6)了解向量线性运算的性质及其几何意义.而向量的运算与共线的基本定理通常交汇命题,但难度不大,因此在复习中应把握三点:一是分清基本概念为主;二是以线性运算与共线定理的小题训练为主;三是该题在高考中的命题思想是送分,不要有太重的思想包袱.1.向量的有关概念(1)向量的定义及表示:既有大小又有方向的量叫做向量.以A为起点、B为终点的向量记作𝐴𝐵,也可用a,b,c,…表示.(2)向量的长度:有向线段𝐴𝐵的长度,即𝐴𝐵的长度(或称模),记作|𝐴𝐵|.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.(3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行(共线)向量(0与任何向量平行(共线)).(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量a与b相等,记作a=b.(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量(0的相反向量为0).2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律:a+b=b+a;②结合律:(a+b)+c=a+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|.当λ0时,λa与a的方向相同;当λ0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.4.常用的数学方法与思想数形结合思想、转化化归思想.1.(2016·河南中原名校联考)在△ABC中,若点D满足𝐵𝐷=2𝐷𝐶,则𝐴𝐷=()A.13𝐴𝐶+23𝐴𝐵B.53𝐴𝐵−23𝐴𝐶C.23𝐴𝐶−13𝐴𝐵D.23𝐴𝐶+13𝐴𝐵1.D【解析】𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷,𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷=𝐴𝐶−𝐷𝐶,所以2𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷+𝐴𝐶−𝐷𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐷𝐶,而𝐷𝐶=13𝐵𝐶=13(𝐴𝐶−𝐴𝐵),即有2𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐶+13𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+13(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=23𝐴𝐵+43𝐴𝐶,即得𝐴𝐷=13𝐴𝐵+23𝐴𝐶.2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,𝐴𝐵+𝐴𝐷=λ𝐴𝑂,则λ=.2.2【解析】因为𝐴𝐵+𝐴𝐷=𝐴𝐶=2𝐴𝑂,所以λ=2.3.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.3.12【解析】设𝜆𝐚+𝐛=𝑘(𝐚+2𝐛),则𝜆=𝑘,1=2𝑘,解得𝜆=12.考点1平面向量的基本概念典例1下列命题中:①相反向量就是方向相反的向量;②λ,μ为任意实数,若λa=μb,则a与b共线;③向量a与向量b平行,则a与b的方向相同;④a∥b,c∥b,则a∥c.其中错误命题的序号为.【解题思路】正确掌握相反向量、平行(共线)向量的概念,解题时勿忽视零向量.长度相同且方向相反的向量才为相反向量,故①错误;若λ=μ=0,则λa=μb=0,但a与b可能不共线,故②错误;若两向量平行,则两向量的方向可能平行,也可能相反,故③错误;若b=0,则a与c不一定平行,故④错误.【参考答案】①②③④考点2向量的线性运算典例2(2015·北京高考)在△ABC中,点M,N满足𝐴𝑀=2𝑀𝐶,𝐵𝑁=𝑁𝐶.若𝑀𝑁=x𝐴𝐵+y𝐴𝐶,则x=,y=.【解题思路】连接AN,利用三角形法则进行转化求解.连接AN,𝑀𝑁=𝐴𝑁−𝐴𝑀=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶)−23𝐴𝐶=12𝐴𝐵−16𝐴𝐶,又因为𝑀𝑁=𝑥𝐴𝐵+𝑦𝐴𝐶,故x=12,𝑦=−16.【参考答案】12−16向量的线性运算时注意以下三点(1)尽可能转化到平行四边形或三角形中;(2)充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似三角形的边长关系、特殊点构成的比例等关系;(3)利用数形结合思想向结论方向进行转化.【变式训练】1.(2015·河南八市重点检测)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且𝐸𝐶=2𝐴𝐸,则向量𝐸𝑀−𝐴𝐵=()A.12𝐴𝐶−13𝐴𝐵B.12𝐴𝐶−16𝐴𝐵C.16𝐴𝐶−12𝐴𝐵D.16𝐴𝐶+12𝐴𝐵1.C【解析】因为𝐸𝐶=2𝐴𝐸,所以𝐸𝑀=𝐸𝐶+𝐶𝑀=23𝐴𝐶+12𝐶𝐵=23𝐴𝐶+12(𝐴𝐵−𝐴𝐶)=12𝐴𝐵+16𝐴𝐶,故𝐸𝑀−𝐴𝐵=16𝐴𝐶−12𝐴𝐵.2.在平面直角坐标中,△ABC的三个顶点A,B,C,下列两个命题中正确的是.①平面内点G满足𝐺𝐴+𝐺𝐵+𝐺𝐶=0,则G是△ABC的重心;②平面内点M满足𝑀𝐴=𝑀𝐵=𝑀𝐶,点M是△ABC的内心.2.①【解析】对于①,设D为边AB的中点,则𝐺𝐴+𝐺𝐵=2𝐺𝐷,所以𝐺𝐴+𝐺𝐵+𝐺𝐶=𝟎得到2𝐺𝐷+𝐺𝐶=𝟎,即𝐶𝐺=2𝐺𝐷,同理设𝐸,𝐹分别为𝐴𝐶,𝐵𝐶中点,也有𝐵𝐺=2𝐺𝐸,𝐴𝐺=2𝐺𝐹,故点𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重心,即①正确;对于②,|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|=|𝑀𝐶|,即点M到三顶点的距离相等,所以点M应为三角形ABC的外心,即②错误.考点3共线向量定理与应用典例3(2015·北京朝阳区二模)已知非零平面向量a,b,则“a与b共线”是“a+b与a-b共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】利用充分、必要条件的定义分别进行判断.由“a与b共线”易得“a+b与a-b共线”.当a+b与a-b共线且a≠b时,有a+b=λ(a-b),则(λ+1)b=(λ-1)a,由a,b为非零向量,则λ≠±1,所以a与b共线;当a+b与a-b共线且a=b时,则有a,b共线,综上可得C项正确.【参考答案】Cb=𝜆-1𝜆+1a,共线向量定理与应用要注意三点(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是当且仅当存在唯一的实数λ,使b=λa;(2)证明三点共线问题可以利用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线是有区别的,当两向量共线且有一个公共点时,才能得到三点共线;(3)利用共线求解问题时应注意待定系数法与方程思想的运用.【变式训练】已知不共线向量a,b,𝐴𝐵=ta-b(t∈R),𝐴𝐶=a+b,若A,B,C三点共线,则实数t=.-1【解析】因为A,B,C三点共线,所以𝐴𝐵与𝐴𝐶共线,即𝐴𝐵=𝜆𝐴𝐶,又𝐴𝐵=𝑡𝐚−𝐛,𝐴𝐶=𝐚+𝐛,所以𝑡𝐚−𝐛=𝜆(𝐚+𝐛),比较系数得𝑡=𝜆,-1=𝜆,则t=-1.易错易混考点:对向量的线性运算的几何意义理解不透致误典例已知△ABC和点M满足𝑀𝐴+𝑀𝐵+𝑀𝐶=0.若存在实数m使得𝐴𝐵+𝐴𝐶=m𝐴𝑀成立,则m=()A.2B.3C.4D.5【错因分析】求解该题时不能根据𝑀𝐴+𝑀𝐵+𝑀𝐶=0分析出点M与△ABC的关系.【正确解答】由𝑀𝐴+𝑀𝐵+𝑀𝐶=0,知点M为△ABC的重心,设点D为边BC的中点,则由向量加法,可知𝐴𝐵+𝐴𝐶=2𝐴𝐷.由重心的性质,可知|𝐴𝑀|=23|𝐴𝐷|,而且𝐴𝑀与𝐴𝐷同向,故𝐴𝑀=23𝐴𝐷,所以𝐴𝑀=23×12(𝐴𝐵+𝐴𝐶)=13(𝐴𝐵+𝐴𝐶),所以𝐴𝐵+𝐴𝐶=3𝐴𝑀,故m=3,故选B.对于形如𝐴𝐷=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶)的等式,一般有两种处理方法,一是从几何意义的角度思考问题;二是通过两边同时乘以同一向量,转化为实数问题求解.【针对训练】圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若𝐴𝐵+𝐴𝐶=2𝐴𝑂,且|𝑂𝐴|=|𝐴𝐶|,求向量𝐵𝐴在向量𝐵𝐶方向上的投影.3【解析】由𝐴𝐵+𝐴𝐶=2𝐴𝑂,可得点O为线段BC的中点.又因为点O为△ABC的外接圆的圆心,由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形,且|𝐵𝐶|=2|𝑂𝐴|=4.又因为|𝑂𝐴|=|𝐴𝐶|,可得|𝐴𝐶|=2,根据勾股定理可得|𝐴𝐵|=23,所以cosB=32,根据投影的定义可知向量𝐵𝐴在向量𝐵𝐶方向上的投影为|𝐵𝐴|·cos𝐵=23×32=3.