高考第一轮复习数学直线和圆的方程(附答案)

素质能力检测（七）一、选择题（每小题5分，共60分）1.集合M={（x，y）|y=21x，x、y∈R}，N={（x，y）|x=1，y∈R}，则M∩N等于A.{（1，0）}B.{y|0≤y≤1}C.{1，0}D.解析：y=21x表示单位圆的上半圆，x=1与之有且仅有一个公共点（1，0）.答案：A2.（2004年湖北，文2）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为A.－23B.－32C.41D.4解析：设M（x，y），点M分M1M2所成比为λ=23.得x=231236=3，y=2317236=5.代入y=mx－7，得m=4.答案：D3.（2003年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是yxOAyxOByOCxyxOD解：根据a的符号和表示直线的位置特征，显见C正确，因为当a0时，y=ax表示过原点且下降的直线，y=x+a表示纵截距小于零且上升的直线.故选C.答案：C4.（2005年春季北京，6）直线x+3y－2=0被圆（x－1）2+y2=1所截得的线段的长为A.1B.2C.3D.2解析：圆心（1，0），r=1到直线x+3y－2=0的距离d=22)3(1|201|=21.则21弦长=23.∴弦长为3.答案：C5.（2004年湖北，4）圆C1：x2+y2+2x+2y－2=0与圆C2：x2+y2－4x－2y+1=0的公切线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：圆C1的圆心C1（－1，－1），r1=2，圆C2的圆心C2（2，1），r2=2.∵|C1C2|=22)11()21(=13r1+r2=4，∴圆C1与圆C2相交.故公切线有2条.答案：B6.（2004年天津，理7）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是A.x－y－3=0B.2x+y－3=0C.x+y－1=0D.2x－y－5=0解：由（x－1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQP·kAB=－1，∴kAB=－QPk1=1（其中kQP=1201=－1）.∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，即x－y－3=0.答案：Ax=3+5cosθ，y=－4+5sinθA.10B.16C.25D.100解析：易知22yx是圆（x－3）2+（y+4）2=25上的点到原点的距离.答案：D8.把直线x－2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为A.3或13B.－3或13C.3或－13D.－3或－13解析：直线x－2y+λ=0按a=（－1，－2）平移后的直线为x－2y+λ－3=0，与圆相切，易得λ=13或3.答案：A9.圆x2+y2+2x+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有7.如果点P（x，y）在曲线（θ为参数）上，则x2+y2的最大值是A.1个B.2个C.3个D.4个解析：易知圆心（－1，－2）到x+y+1=0的距离d=2，所以满足题意的点共有3个.答案：Cx=1+cosθ，y=1－sinθ（θ为参数），直线l经过点（0，2），倾斜角为α，则α=4π是直线l与曲线C相切的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：数形结合法易知.答案：A11.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组kx－y+1≥0，kx－my≤0，y≥0A.41B.21C.1D.2解析：由题中条件知k=1，m=－1，易知区域面积为41.答案：A12.（2002年全国新课程）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点C满足OC=αOA+βOB，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为A.（x－1）2+（y－2）2=5B.3x+2y－11=0C.2x－y=0D.x+2y－5=0解析：设C点坐标为（x，y），则OC=（x，y），OA=（3，1），OB=（－1，3），所以（x，y）=α·（3，1）+β·（－1，3）=（3α－β，α+3β）.x=3α－β，y=α+3β，α=103yx，β=103xy.因为α+β=1，10.已知曲线C：表示的平面区域的面积是所以变形得所以103yx+103xy=1，即x+2y－5=0.故选D.答案：D二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2005年北京东城区目标检测题）设实数x、y满足x≥0，x－y+2≤0，2x+y－5≤0，解析：画出图形即可得到在（0，5）点z=x+y取得最大值5.答案：514.（2004年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆72x+32y=1的公共点有____________个.解析：将直线方程代入圆方程中“Δ＜0”即可.答案：0＜m2+n2＜3215.（2004年北京，11）圆x2+（y+1）2=1的圆心坐标是__________，如果直线x+y+a=0与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是__________.解析：由圆的定义知，圆x2+（y+1）2=1的圆心坐标是（0，－1）.圆心（0，－1）到直线x+y+a=0的距离d=2|1|a.若圆与直线有公共点，则d≤1，即得1－2≤a≤1+2.答案：（0，－1）1－2≤a≤1+216.（2001年上海，理）已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+（y－3）2=1，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例.推广命题为____________.解析：设两圆方程为（x－a）2+（y－b）2=r2①和（x－c）2+（y－d）2=r2.②由①－②得两圆的对称轴方程为2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0.所以推广命题为：已知两个圆：①（x－a）2+（y－b）2=r2；②（x－c）2+（y－d）2=r2.则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.答案：已知两个圆：①（x－a）2+（y－b）2=r2；②（x－c）2+（y－d）2=r2.则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.三、解答题（共6小题，满分74分）17.（12分）已知两直线l1：x+ysinθ－1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2.解：（1）当sinθ=0时，l1斜率不存在，l2斜率为零，l1显然不平行于l2.当sinθ≠0时，k1=－sin1，k2=－2sinθ.∵k1=k2是l1∥l2的条件，∴－sin1=－2sinθ，sinθ=±22，则z=x+y的最大值是____________.θ=nπ+4π，n∈Z.此时两直线截距不等，∴当θ=nπ±4π，n∈Z时，l1∥l2.（2）∵A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，∴2sinθ+sinθ=0.∴sinθ=0，即θ=nπ（n∈Z）.∴当θ=nπ，n∈Z时，l1⊥l2.18.（12分）过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.xyllABMP12O解法一：设点M的坐标为（x，y），∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为（2x，0），B的坐标为（0，2y）.∵l1⊥l2，且l1、l2过点P（2，4），∴PA⊥PB，kPA·kPB=－1.而kPA=x2204，kPB=0224y（x≠1），∴x12·12y=－1（x≠1）.整理，得x+2y－5=0（x≠1）.∵当x=1时，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4），∴线段AB的中点坐标是（1，2），它满足方程x+2y－5=0.综上所述，点M的轨迹方程是x+2y－5=0.解法二：设M的坐标为（x，y），则A、B两点的坐标分别是（2x，0）、（0，2y），连结PM，∵l1⊥l2，OxyABMP∴2｜PM｜=｜AB｜.而｜PM｜=22)4()2(yx，｜AB｜=22)2()2(yx，∴222)4()2(yx=2244yx.化简，得x+2y－5=0，为所求轨迹方程.解法三：设M的坐标为（x，y），由l1⊥l2，BO⊥OA知O、A、P、B四点共圆，∴｜MO｜=｜MP｜，即点M是线段OP的垂直平分线上的点.∵kOP=0204=2，线段OP的中点为（1，2），∴y－2=－21（x－1），即x+2y－5=0为所求.19.（12分）圆C通过不同的三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在P点切线斜率为1，试求圆C的方程.解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.k+2=－D，2k=F，E+F+1=0.∴圆的方程为x2+y2－（k+2）x－（2k+1）y+2k=0，圆心为（22k，212k）.又∵kCP=－1，∴k=－3.∴圆的方程为x2+y2+x+5y－6=0.20.（12分）某房产开发公司建楼急需资金1200万元，必须向银行A和银行B贷款，一年本自息还清，银行A至多贷给该公司800万元，年息12%；银行B至多贷款给该公司1000万元，年息14%，问开发公司分别向A、B两银行贷款多少万元，才使所付总利息最少?解：设开发公司向银行A贷款x万元，向银行B贷款y万元，开发公司需付总利息为S，依题意，有约束条件xxxyyyO++==012008000.120.141000ll10Mx≤800，y≤1000，x+y≥1200，x≥0，y≥0.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l0：0.12x+0.14y=0，把直线l0向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最小，此时，S=0.12x+0.14y取得最小值.x=800，x+y=1200，故该开发公司向银行A贷款800万元，向银行B贷款400万元时，所付总利息最少.21.（12分）已知圆x2+y2－6x－8y+21=0和直线kx－y－4k+3=0.（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点；（2）求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.（1）证明：已知圆的方程为（x－3）2+（y－4）2=4，其圆心（3，4）到直线kx－y－4k+3=0的距离为|213443kkk|=21|1|kk.要证明直线和圆总有两个不同的公共点，只要证21|1|kk2，即证（k+1）24（1+k2），S=0.12x+0.14y.解方程组得M点的坐标为（800，400），此即为最优解.将P、Q、R的坐标代入，得即证3k2－2k+30.而3k2－2k+3=3（k－31）2+380成立.（2）解：由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，而d=21|1|kk=1)1(22kk=1212kk≤11122kk=2.当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，dmax=2.故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为222)2(2=22.22.（14分）过点A（0，a）作直线与圆E：（x－2）2+y2=1交于B、C两点，在BC上取满足BP∶PC=AB∶AC的点P.（1）求P点的轨迹方程；（2）设所求轨迹方程与圆E交于M、N两点，求△EMN（E为圆心）面积的最大值.解：（1）设AB方程为y=kx+a，与圆的方程联立得（k2+1）x2+（2ak－4）x+a2+3=0.xB+xC=－2142kak，xB·xC=2213ka.∵PCBP=ACAB，∴PCBPxxxx=CBxx.∴xP=aka232.同理，yP=akka232.消去k，得2x－ay－3=0.∴轨迹是直线2x－ay－3=0在圆内一段.2x－ay－3=0（x－2）2+y2=1|MN|=2)2(1a|y1－y2|=2·4322aa.又高为412