概率论与数理统计5-1

牡丹江师范学院教案教研室：教师姓名：授课时间:课程名称概率论与数理统计授课专业和班级授课内容连续随机变量随机变量的分布函数授课学时2学时教学目的掌握连续随机变量，会求分布函数教学重点连续随机变量教学难点连续随机变量分布函数教具和媒体使用板书教学方法讲授法、引导法、读书指导法教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)复习旧课本课程知识的引入重点和难点讲授1、连续随机变量2、随机变量的分布函数本节小结作业布置10分钟10分钟30分钟30分钟5分钟5分钟板书设计第二章随机变量及其分布§2.4连续随机变量§2.5随机变量的分布函数1、定义2、分布函数的性质3、例题讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字年月日讲稿讲授内容备注一、复习旧课前面我们学习了随机变量的概念，我们知道随机变量分为：离散随机变量连续随机变量通过上节课的学习我们又知道离散随机变量的分布函数主要有以下几种：“0—1”分布；超几何分布；二项分布；泊松分布二、授课内容§2.4连续随机变量我们知道，连续随机变量在试验的结果中可以取得某一区间内的任何数值，但当描述连续随机变量X的分布时，我们不能把X的一切可能值排列起来，因为这些数值构成不可数的无穷集合。设x0是连续随机变量X的任一可能值，与离散随机变量的情形一样。事件X＝x0是试验的基本事件，但是我们认为事件X＝x0的概率等于零。虽然它决不是不可能事件，也就是说，连续随机变量X取得它的任一可能值x0的概率等于零，即P（X＝x0）＝0，我们把它理解为连续随机变量固有的特性。例如，测量某一零件的尺寸时，我们只能说测得零件尺寸与规定尺寸的偏差为＋0.050001mm的概率等于零。因为区别零件尺寸与规定尺寸的偏差时＋0.05mm还是＋0.050001mm未必有任何现实意义。例（49页）如50页的表，51页的图12。§2.5随机变量的分布函数1．定义设x是任何实数，对随机变量X取得的值不大于x的概率，即事件X≤x的概率，也就是X落在x左侧的概率，它是x的函数，记分布函数：设X是任一随机变量，我们称定义在（－∞，＋∞）上的实值函数F（x）＝P{X≤x}为随机变量X的分布函数。作F（x）＝P（X≤x）这个函数叫做随机变量X的概率分布函数或分布函数。2．已知随机变量X的分布函数F（x），易知随机变量X落在半开区间（x1，x2]内的概率：P（x1＜X≤x2）＝F（x2）－F（x1）证在x轴上任取两点x1及x2，并设x1＜x2，则分布函数F（x）在这两点处的值F（x1）及F（x2）分布表示随机事件X≤x1及X≤x2的概率：F（x1）＝P（X≤x1），F（x2）＝P（X≤x2）由于事件X≤x2可看作两个互不相容事件X≤x1与x1＜X≤x2的并，按概率加法定理，得P（X≤x2）＝P（X≤x1）＋P（x1＜X≤x2），所以，P（x1＜X≤x2）＝P（X≤x2）－P（X≤x1）＝F（x2）－F（x1）随机变量X落在区间（x1，x2]内的概率等于分布函数F（x）在概区间上的增量。3．分布函数的性质（1）有界性：任何事件的概率都是介于0与1之间的数，所以随机变量的分布函数F（x）的值总在0与1之间：0≤F（x）≤1（2）单调性：因为概率不能为负，所以P（x1＜X≤x2）＝F（x2）－F（x1）≥0即F（x1）≤F（x2），x1＜x2，可知，分布函数F（x）是非减函数。（3）如果随机变量X的一切可能值都位于区间[a，b]内，则当x＜a时，事件X≤x是不可能事件，有F（x）＝0，x＜a；而当x＞b时，事件X≤x是必然事件，有F（x）＝1，x≥b。一般情况下，随机变量可以取得任何实数值时，有()lim()0xFFx及()lim()1xFFx（4）对于离散随机变量，按概率加法定理，有()()()()iiiixxxxFxPXxPXxPx这里和式是对不大于x的一切xi求和。离散随机变量X的任一可能值xi是其分布函数F（x）的跳跃间断点，函数在该点仅是右连续，即跃度等于：P（X＝xi）＝F（xi）－F（xi－0）000(0)lim()()xxFxFxFx例（53页）（5）对于连续随机变量，取得任一可能值x的概率等于零：P（X＝x）＝0P（x1＜X＜x2）＝P（x1≤X＜x2）＝P（x1＜X≤x2）＝P（x1≤X≤x2）＝F（x2）－F（x1）例1（54页）向半径为R的圆形靶射击，击中点M落在以靶心O为中心，r为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况，设连续随机变量X表示击中点M与靶心O的距离（图15）。（1）求X的分布函数；（2）把靶心的半径分为10等份，如果击中点M落在以靶心O为中心，内外半径分别为10iR及110iR的圆环域内，则计为10－i环。求一次射击得到10－i环的概率（i＝0，1，2，…，9）。解（1）设随机变量X的分布函数为F（r）＝P（X≤r），X的可能值在区间[0，R]内，根据分布函数的性质（3）可知：当r＜0时，F（r）＝0；当r≥R时，F（r）＝1；当0≤r＜R时，F（r）＝P（x≤r）＝kπr2，因为F（R）＝kπR2＝1，所以21kR，从而F（r）＝22rR。F（x）的图形是台阶形曲线，右连续。F（x）的图形在整个数轴上处处连续。因为F（r）处处连续，所以在r＝R点也连续，()limrRFr()FRX的分布函数：220,0;(),0;1,.rrFrrRRrR（2）一次射击得10－i环的概率：2211121()()()()()10101010101010iiiiiiiPRXRFRFR（i＝0，1，2，…，9）例2（55页）使用了t小时的电子元件在以后的t小时内损坏的概率等于()tt，其中＞0是常数，()t表示当0t时较t高阶的无穷小量。求电子元件的寿命（即电子元件损坏前已使用的时数）的分布函数。解设连续随机变量X是电子元件的寿命，则X的分布函数为F（t）＝P（X≤t）当t＜0时，F（t）＝0；当t≥0时，设0t，有()()()()FttPXttPXtPtXtt对于事件tXtt，应理解为X＞t与Xtt的交，按乘法定理得()()()PtXttPXtPXttXt因为()1()1()PXtPXtFt，又有()()PXttXttt，所以()()[1()][()]FttFtFttt即()()()[1()][]FttFttFttt当0t时，得()[1()]dFtFtdt又因为F（0）＝0的解为()1tFte，所以1,0()0,0tetFtt三、总结掌握连续随机变量的概念；理解分布函数和概率密度的定义；四、作业习题二（83页）：2.17；2.18参考书目《概率论与数理统计教程》沈恒范高等教育出版社《概率论与数理统计教程辅导及习题全解》周奎伟宋彩霞人民日报出版社