一元二次方程根与系数的关系.讲义学生版

1内容基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题一、韦达定理如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa，12cxxa．（隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x，2x是方程20xpxq的两个根，则12xxp，12xxq．二、韦达定理的逆定理以两个数1x，2x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0xxxxxx．一般地，如果有两个数1x，2x满足12bxxa，12cxxa，那么1x，2x必定是20(0)axbxca的两个根．三、韦达定理与根的符号关系在24bac≥0的条件下，我们有如下结论：知识点睛中考要求一元二次方程根与系数的关系2⑴当0ca时，方程的两根必一正一负．若0ba≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0ca时，方程的两根同正或同负．若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x，2x是20(0)axbxca的两根（其中12xx），且m为实数，当0时，一般地：①121()()0xmxmxm，2xm②12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm③12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数）．⑵若0ac，则方程20(0)axbxca必有实数根．⑶若0ac，方程20(0)axbxca不一定有实数根．⑷若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．⑸若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．四、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．一、已知一元二次方程的一根求另一根已知关于x的方程220xkx的一个解与方程131xx解相同．⑴求k的值；⑵求方程220xkx的另一个解．例题精讲3【巩固】若方程240xxc的一个根为23，则方程的另一个根为，c．二、确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例10】已知方程2230xmx的两根的平方和为5，则m=__________．【巩固】已知关于x的方程2210xmxm的两个实数根的平方和为23，求m的值【巩固】已知关于x的方程22210xxk的两根平方差等于2，求k的值．【例1】已知12,xx为方程20xpxq的两根，且126xx，221220xx，求,pq的值．【巩固】已知关于x的方程222(2)50xmxm有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值．4【巩固】设1x、2x是方程222120xkxk的两个不同的实根，且12118xx，则k的值是．【巩固】已知关于x的方程22(23)30xkxk有两个实数根1x，2x，且121211xxxx，求k值．【巩固】已知12,xx是方程24440axaxa的两实根，是否能适当选取a的值，使得1221(2)(2)xxxx的值等于54________________．【例2】已知关于y的方程220yaya，分别写出下列情形中a所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【例3】已知关于x的方程22290xmxm只有一个正根，求m的取值范围．【巩固】已知关于x的方程22290xmxm至少有一个正根，求m的取值范围．5【例11】已知关于x的方程211300xxa的两根都大于5，求a的取值范围．【巩固】已知关于x的方程24280xxm的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．【巩固】关于x的方程2230xmxm的两根12,xx满足212()16xx，如果关于x的另一个方程22690xmxm的两实根都在12,xx之间，求m的值．【例12】实数k为何值时，关于x的一元二次方程2(23)(24)0xkxk．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？⑶一根大于3，一根小于3？6【巩固】已知1x、2x是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．⑴是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．⑵求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．【例13】已知12,xx（12xx）是方程2(1)0xmxn的两个实数根，12,yy是方程2(1)60ynym的两实数根，且112xy，222yx，求,mn的值．【巩固】已知关于x的方程24832xnxn和223220xnxn，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．7【巩固】已知方程20xaxb的根是a和c，方程20xcxd的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．【例14】关于x的二次方程2251xxm有实根和，且||||6≤，确定m的取值范围．【例15】已知m，n是有理数，并且方程20xmxn有一个根是52，那么mn_______．【例16】若实数a使得对于每一个实数z，关于x、y的方程组22231xayzxyzz总有实数解，则a的取值范围是__________．三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值已知、是方程2250xx的两个实数根，22的值为【巩固】已知、是方程2520xx的两根，求的值8【例17】已知方程22350xx的两根为12xx，，求：⑴2212xx；⑵3312xx⑶5512xx【巩固】1x、2x是方程22350xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2212xx⑵12xx⑶2212233xxx【例18】关于x的方程22410xkx的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝．【例19】如果a，b都是质数，且213aam，2130bbm，求baab的值．【例20】如果实数,ab满足213140aa，213140bb，则baab的值为多少？9【例21】如果实数,ab分别满足222aa，222bb，求11ab的值【例22】已知2221，2221，求的值．【例23】阅读材料：设一元二次方程20(0)axbxca的两根是1x、2x，则根与系数关系为：12bxxa，12cxxa．已知210pp，210qq，且1pq，求1pqq的值．【例24】根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：已知22510mm，21520nn且mn，求11mn的值．【例25】若1ab，且有25200190aa及29200150bb，则ab，1ab．【例26】设实数,st分别满足2199910ss，299190tt并且1st，求41stst的值．10【例27】设方程2(1998)1997199910xx的大根为a，方程2199819900xx的小根为b，则ab_____________．【例28】设1x、2x是方程23560xx的两根，则代数式122121xx的值是，代数式1221xxxx的值是．【例29】已知，是一元二次方程210xx的两个根，求5325的值．【巩固】已知m是不等式组210430mm的整数解，、是关于x的方程20xmxm的两个实根，求：⑴33的值；⑵43的值．四、根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【例30】设20xpxq的两实数根为、，那么33、为两根的一元二次方程是____________．【巩固】已知方程2980xx，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．11【例31】已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p、q，且22156pqppqpq，试求这个一元二次方程．【巩固】已知关于x的方程24470xbxb有两个相等的实数根，1y、2y是关于y的方程2240yby的两个根，求以1y，2y为根、二次项系数为2一元二次方程．五、根与系数关系的其他应用已知abc，1abc，2223abc．求证：2132bc．【巩固】已知方程240axxb(0)a的两实根为1x、2x，方程230axxb的两实根为、．⑴若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值；⑵若12，12xx，求证：1221xx．12【例32】已知ab，为正整数，关于x的方程220xaxb的两个实数根为12xx，，关于y的方程220yayb的两个实数根为12yy，，且满足11222008xyxy．求b的最小值．【例33】已知2007()2007()()0()abbccaab，求2()()()cbcaab的值．1．已知关于x的方程2130xxk的两根、满足条件31，求k的值．2．已知关于x的方程260xxc的一个根是另一个根的平方，求c的值．课后作业133．方程222(1)40xmxm的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m=______________．4．已知12,xx是一元二次方程224(35)60xmxm的两个实数根，且123||2xx，则m=__________．5．已知关于x的方程2212110txtx的两根倒数之和大于0，求t的取值范围．6．已知二次方程2(23)100kxkxk的两根都是负数，则k的取值范围是____________．7．已知1x、2x是关于x的一元二次方程2244(1)0xmxm的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．8．关于x的二次方程22(1)40(0)mxmxm的两根一个比1大，另一个比1小，则m的取值范围是______________．9．已知方程2350xx的两根为1x、2x，则2212xx10．已知1x，2x是方程2310xx的两个实数根，则1211