二次函数的图象及性质(1).讲义学生版

1黑体小四板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1．能根据实际情境了解二次函数的意义；2．会利用描点法画出二次函数的图像；1．能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2．能从函数图像上认识函数的性质；3．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4．会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1．能用二次函数解决简单的实际问题；2．能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数的定义一般地，形如2yaxbxc（abc，，为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而b、c可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．黑体小四二、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系（1）a决定抛物线的开口方向当0a时，抛物线开口向上；当0a时，抛物线开口向下．反之亦然．a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反．（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bxa）当0b时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．知识点睛中考要求二次函数的图象及性质（1）2（3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0c，）当0c时，抛物线与y轴的交点为原点；当0c时，交点在y轴的正半轴；当0c时，交点在y轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．3.点的坐标设法⑴一次函数yaxb（0a）图像上的任意点可设为11xaxb，.其中10x时，该点为直线与y轴交点.⑵二次函数2yaxbxc（0a）图像上的任意一点可设为2111xaxbxc，.10x时，该点为抛物线与y轴交点，当12bxa时，该点为抛物线顶点．⑶点11xy，关于22xx，的对称点为212122xxyy，．4.二次函数的图象信息⑴根据抛物线的开口方向判断a的正负性．⑵根据抛物线的对称轴判断2ba的大小．⑶根据抛物线与y轴的交点，判断c的大小．⑷根据抛物线与x轴有无交点，判断24bac的正负性．⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于abc，，的等式．⑹根据抛物线的顶点，判断244acba的大小．三、二次函数的图象及性质1．二次函数2yax0a（）的性质：⑴抛物线2yax的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x（y轴）．⑵函数2yax的图像与a的符号关系．①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点；32．二次函数2(0)yaxca的性质3．二次函数2yaxbxc0a（）或2()yaxhk（0a）的性质⑴开口方向：00aa向上向下⑵对称轴：2bxa（或xh）⑶顶点坐标：24(,)24bacbaa（或(,)hk）⑷最值：图1图2Oyx0a时有最小值244acba（或k）（如图1）；0a时有最大值244acba（或k）（如图2）；⑸单调性：二次函数2yaxbxc（0a）的变化情况（增减性）①如图1所示，当0a时，对称轴左侧2bxa，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧2bxa，y随x的增大而增大；②如图2所示，当0a时，对称轴左侧2bxa，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧2bxa，y随x的增大而减小；a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．4⑹与坐标轴的交点：①与y轴的交点：（0，C）；②与x轴的交点：使方程20axbxc（或2()0axhk）成立的x值．一、二次函数的概念【例1】判断下列函数是不是二次函数．如果不是，请说出为什么．⑴2325yxxz；⑵258yxx；⑶2ymxx（m是常数）；⑷2(32)(43)12yxxx；⑸2yaxbxc；⑹21ybx（b是常数，0b）；⑺220yxkx（k为常数）；⑻2256yxx【巩固】下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2yx⑵21yx⑶221yxx⑷(1)yxx⑸2(1)(1)(1)yxxx【例2】已知函数2222()(32)2mmymmxmmxmm，当m是什么数时，函数是二次函数？例题精讲5【巩固】已知函数2yaxbxc⑴当a，b，c是怎样的数时，它是一次函数？⑵当a，b，c是怎样的数时，它是正比例函数？⑶当a，b，c是怎样的数时，它是二次函数？二、二次函数的图象及性质【例3】在同一直角坐标系下，画出二次函数22212yxyxyx，，和22yx的图象．【巩固】在同一直角坐标系下，画出二次函数221yxyx，和21yx的图象．【例4】画出函数21212yxx的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．6【巩固】画出函数2288yxx的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例5】若二次函数cbxaxy2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴；则点,cPab在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【巩固】已知二次函数2yaxbxc的图象如下右图所示，则点Pabc，在第象限.【例6】下左图所示为二次函数2yaxbxc的图象，则一次函数byaxc的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限yxOOyxOyx【巩固】已知，如图所示为二次函数2yaxbxc的图象，则一次函数yaxbc的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例7】二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为（）yxO1-1AyxOByxOCyxODyxO7【巩固】函数1yax与210yaxbxa的图象可能是()1AxyO1BxyO1CxyO1DxyO【巩固】在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数222ymxx（m是常数，且0m）的图象可．能．是（）DCBAxyOxyOxyOOyx【例8】设二次函数20yaxbxca图像如图所示，试判断24abcabcabcbac、、、、、的符号．xy01-1【巩固】二次函数2yaxbxc的图象如下左图所示，判断a，b，c，24bac，2ab，abc，abc的符号8Oxy-111yxO1-1【巩固】已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤【巩固】如下右图所示，二次函数2(0)yaxbxca的图象经过点12，，且与x轴交点的横坐标分别为1x，2x，其中121x，201x，下列结论：①420abc；②20ab；③1b；④284baac．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个21-1-2yxO【例9】二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示，求a的取值范围Oyx119【巩固】已知抛物线2yaxbxc的一段图象如图所示．⑴确定a、b、c的符号；⑵求abc的取值范围．-1-1Oxy【巩固】设二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，若OAOB，求abc的取值范围.yxOBA【例10】如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．hmB．knC．knD．00hk，y=14（x-h）2+ky=12（x-m）2+nOxy【例11】已知函数2yaxbxc（0a）的图象，如图所示．求证：22()acbx=1yxO101.函数2213ayaxaxa．⑴当a取什么值时，它为二次函数．⑵当a取什么值时，它为一次函数．2.画出函数23(2)1yx的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．3.已知2yaxbx的图象如下左图所示，则yaxb的图象一定过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限yxO4.在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数2yaxbx的图象可能为（）AOxyBOxyCOxyDOxy5.已知0a，在同一直角坐标系中，函数yax与2yax的图象有可能是（）课后作业11AOxyBOxyCOxyDOxy6.若二次函数222yaxbxa（a，b为常数）的图象如下图，则a的值为（）A.2B.2C.1D.2yxO7.已知二次函数2yaxbxc的y与x的部分对应值如下表：x…1013…y…3131…则下列判断中正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当4x时，0yD.方程20axbxc的正根在3与4之间8.已知二次函数2()0yaxbxca的图象如图所示，则下列结论：0ac①；②方程20axbxc的两根之和大于0；y③随x的增大而增大；④0abc，其中正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个1Oyx9.已知二次函数20yaxbxca的图象如图所示，下列结论：①0abc；②20ab；③0abc；④0ac，其中正确结论的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个12Oyx-1110.2yaxbxc的图象如图所示．并设|||||2||2|Mabcabcabab，则（）A．0MB．0MC．0MD．不能确定M为正，为负或为0Oyx1-111.二次函数2yaxbxc的图象的一部分如下右图所示，试求abc的取值范围.-1-1Oyx