一元二次不等式练习题

一、选择题(每小题5分，共20分)1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B等于()A．{x|－1≤x0}B．{x|0x≤1}C．{x|0≤x2}D．{x|0≤x≤1}解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0x≤2}，∴A∩B＝{x|0x≤1}．答案：B2．若不等式x2＋mx＋m20的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ0，即m2－4×1×m20，即m2－2m0，解得0m2，故答案为D.答案：D3．关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋bx－20的解集是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由ax－b0的解集为(1，＋∞)得a0，ba＝1，所以ax＋bx－20即x＋1x－20，解得x－1或x2.故选A.答案：A4．在R上定义运算×∶A×B＝A(1－B)，若不等式(x－a)×(x＋a)1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．0a2C．－12a32D．－32a12解析：(x－a)×(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，所以－x2＋x＋a2－a1，即x2－x－a2＋a＋10对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－30，所以(2a－3)(2a＋1)0，即－12a32.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)5．若关于x的不等式x－ax＋10的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.解析：由x－ax＋10得(x－a)(x＋1)0，而解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，从而a＝4.答案：46．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：利用“三个二次”之间的关系．∵x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a＜0，∴0＜a＜8.答案：(0,8)7．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．解析：由题意可知，Δ0且x1x2＝a2－10，故－1a1.答案：(－1,1)三、解答题(每小题10分，共20分)8．解不等式：(1)x＋12－x≥－2；(2)x＋2x2＋x＋11.解析：(1)由x＋12－x≥－2可得x＋12－x＋2≥0，即5－x2－x≥0，所以x－5x－2≥0，不等式等价于x－2x－5≥0，x－2≠0，解得x2或x≥5.所以原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．(2)因为x2＋x＋10，所以原不等式可化为x＋2x2＋x＋1，即x2－10，解得－1x1，所以原不等式的解集为{x|－1x1}．9．设函数f(x)＝lg(ax2＋2ax＋1)．若函数的定义域为R，求a的取值范围．解析：因为f(x)的定义域为R，所以当x∈R时，ax2＋2ax＋10恒成立．令g(x)＝ax2＋2ax＋1.①当a＝0时，g(x)＝1，显然符合题意．②当a≠0时，则必须满足a0，Δ＝4a2－4a0，所以0a1.综合①②可知，a的取值范围为[0,1)．尖子生题库10．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝－0.5x2＋7x－10.50≤x≤7.13.5x7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解析：依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝－0.5x2＋6x－13.50≤x≤7，10.5－xx7.(1)要使工厂有盈利，则有f(x)0，因为f(x)0，所以0≤x≤7，－0.5x2＋6x－13.50或x7，10.5－x0，即0≤x≤7，x2－12x＋270或x7，10.5－x0，得0≤x≤7，3x9或7x10.5，则3x≤7或7x10.5，即3x10.5.所以要使工厂有盈利，产品数量x应控制在大于300台小于1050台的范围内．(2)当3x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5.而当x7时，f(x)10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．