7扩散问题的有限体积法

扩散问题的有限体积法第七讲流体仿真与应用扩散问题的有限体积法◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程▼在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积分，将微分方程转化为积分方程，然后采用不同的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处理，从而得到不同的差分格式。SgraddivUdivt)()(瞬变项对流项源项扩散项扩散问题的有限体积法◆有限体积法求解过程CVCVCVCVdVSdVgraddivdVUdivdVt)()(ACVdAandVadiv)(高斯定理ACVdAUndVUdiv)()(ACVdAgradndVgraddiv)()(CVAACVdVSdAgradndAUndVt)()(扩散问题的有限体积法◆有限体积法输运方程的物理意义CVAACVdVSdAgradndAUndVt)()(总的变化率外法线方向的对流通量源项引起的的增加率内法线方向的扩散通量物理意义因对流而引起的净减少量扩散而引起的净增加量物理意义扩散问题的有限体积法◆稳态输运方程CVAAdVSdAgradndAUn)()(◆非稳态输运方程tCVtAtAtCVdtdVSdtdAgradndtdAUndtdVt)()(扩散问题的有限体积法◆稳态纯扩散0Sgraddiv0)(CVCVdVSdVgraddiv0)(CVAdVSdAgradn一维稳态扩散问题的有限体积法◆一维稳态纯扩散方程0Sdxddxd◆节点划分（P点）有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。一维稳态扩散问题的有限体积法▼控制容积的取法方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划分控制容积）一维稳态扩散问题的有限体积法◆方程的离散0VSdxdAdxdASdVdVdxddxdweCVCVPEPEeeexAdxdAWPWP2PWw2PEePPuSSVS中心差分格式一维稳态扩散问题的有限体积法◆方程的离散0PPuWPWPwwPEPEeeSSxAxAuWWPwwEPEeePPWPwwPEeeSxAxASxAxAuWWEEPPSaaaPWEPSaaaPEeeExAaWP一维稳态扩散问题的有限体积法◆方程离散的步骤首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面上的参数的近似而得到最终的离散方程。对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心◆方程的求解（举例）在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线性方程组。求解该方程组即可得每个节点的值。二维稳态扩散问题的有限体积法◆二维稳态纯扩散方程◆节点划分有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。0Syyxx二维稳态扩散问题的有限体积法◆控制方程在控制容积上积分◆高斯定理把体积分转换为面积分得0Syyxx0VSyAyAxAxAsnwex方向e，w两个界面y方向n，s两个界面PEPEeeexAxAWPWPNPPNnnnyAyAPSSPsssyAyA二维稳态扩散问题的有限体积法0VSyAyAxAxAPSSPssNPPNnnWPWPwwPEPEeePPuSSVSunPNnnSSPssWWPwwEPEeePPPNnnSPssWPwwPEeeSyAyAxAxASyAyAxAxAuNNSSWWEEPPSaaaaaPEeeExAaWPSPssSyAaPNnnNyAaPNSWEPSaaaaa三维稳态扩散问题的有限体积法◆三维稳态纯扩散方程◆节点划分0Szzyyxx三维稳态扩散问题的有限体积法◆三维稳态纯扩散离散方程uTTBBNNSSWWEEPPSaaaaaaaPEeeExAaWPSPssSyAaPNnnNyAaBPbbBzAaPTttTzAaPTBNSWEPSaaaaaaa非稳态扩散问题的有限体积法◆非稳态流动与传热的输运方程最通用的形式的积分方程tCVtAtAtCVdtdVSdtdAgradndtdAUndtdVt)()(去掉对流项tCVtAtCVdtdVSdtdAgradndtdVt)(一维非稳态扩散问题的有限体积法◆一维非稳态问题的控制微分方程◆节点划分SxTxtTc一维非稳态扩散问题的有限体积法◆一维非稳态问题的控制微分方程tttCVtttCVtttCVSdVdtdVdtxTxdVdttTcttttttweCVtttVdtSdtxTAxTAdVdttTctTTtTpP00pTt时刻的温度PT当前时刻的节点温度ttVTTcdVdttTcPPCVttt0一维非稳态扩散问题的有限体积法◆一维非稳态问题的控制微分方程dtVSdtxTTAxTTAVTTcttttttWPWPwPEPEePP0权系数1001PPtttPTTTdtTIxSxTTAxTTAxTTAxTTAxtTTcWPWPwPEPEeWPWPwPEPEePP000001一维非稳态扩散问题的有限体积法◆一维非稳态问题的控制微分方程xSTxxtxcTTxTTxTxxtxcPWPwPEe0001111bTaaaTTaTTaTaPWEp00001111WPwWxaPEeExaxSbtxcaP0EWpPaaaa0一维非稳态扩散问题的有限体积法◆显式格式00pPuTSSxSbuPPWEpWWEEPPSTSaaaTaTaTa00000PPaatxcaP0WPwWxaPEeExa在计算中心节点温度时，只用到了上一时刻的，，的值，因此它叫显式格式，可直接由初始温度分布计算出其它时刻的温度分布。PTWTETPT一维非稳态扩散问题的有限体积法◆显式格式稳定性条件当为常数，且采用均匀网格时00PWEpSaaa0PS00WEpaaaxxxWPPE0xxtxc22xct显式格式稳定性条件当采用显式格式计算时，如果希望采用较小的空间步长以取得更为精确的结果，则时间步长将非常小。这将使得计算时间很长。因此，一般不推荐显式格式。一维非稳态扩散问题的有限体积法◆Crank-Nicolson格式（半隐式格式）在计算中心节点温度时，用到了上一时刻的，，的值，也同时用到了当前时刻的，的值（未知）。因此，它不能直接计算出结果，必须在每个时刻联立求解所有节点的离散方程才能得到结果，所以它属于隐式格式。此格式被称为Crank-Nicolson格式，它是一种半隐格式。PTWTETPT5.0bTaaaTTaTTaTaPWEp0000222220PPEWPSaaaatxcaP0WPwWxaPEeExa20PPuTSSbWTET一维非稳态扩散问题的有限体积法◆半隐式格式稳定性条件半隐式格式稳定性条件Crank-Nicolson格式的稳定性条件与显式格式比，并没有很大的改善，但此格式采用是中心差分（对时间项），其截差为二阶，它的精度比显式格式好。为保证计算结果物理上的真实性和有界性，式中各节点温度的系数须为正020WEpaaa2xct一维非稳态扩散问题的有限体积法◆全隐式格式在计算中心节点温度时，用到了当前时刻的，的值（未知）。因此，它是全隐格式。在每个时刻，必须对所有节点的离散方程同时求解，才能得到各节点的温度值，给定一个初始值，就可以逐时计算。该式中所有节点温度的系数都是正值，因此它是无条件稳定的。但它的精度是一阶（对时间项来说），所以要想提高计算精度，必须采用较小的步长。全隐式格式一般被推荐作为非稳态问题的格式。PTWTET1uPpWWEEPPSTaTaTaTa00PPEWPSaaaa0txcaP0WPwWxaPEeExa多维非稳态扩散问题的有限体积法◆三维非稳态问题的控制微分方程全隐离散方程SzzyyxxtTcuPpTTBBNNSSWWEEPPSTaTaTaTaTaTaTaTa00PPTBNSEWPSaaaaaaaa0txcaP0WPPEeEExAaSPssSyAaPNnnNyAaBPbbByAaPTttTyAa多维非稳态扩散问题的有限体积法◆三维非稳态问题不同情况下的控制容积各界面面积计算线性方程组的求解◆一维稳态问题有限体积法离散得到的节点方程组通常都是三对角方程组BATTTTTTTTTTTTTTT2030100102010010201001020102010305454343232121BATTTTTTT20000203010000102010000102010000102010000103054321线性