习题和答案

1第三章习题1.考虑如下贝叶斯博弈：（1）自然决定支付矩阵（a）或(b)，概率分别为u和1u；（2）参与人1知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a）或(b)，但是参与人不知道自然的选择；（3）参与人1和参与2同时行动（参与人1选择T或B时不知参与人的选择，参与人2选择L或R不知参与人1的选择）。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。表3.1.a1S2SLRT1,10,0B0,00,0表3.1.b1S2SLRT0,00,0B0,02,22.考虑如下扰动的性别战博弈,其中it服从0,1的均匀分布,01，1t和2t是独立的,it是参与人i的私人信息。a.求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡。b.证明当0时，以上贝叶斯均衡和完全信息的混合战略纳什均衡相同。表3.21S2S足球芭蕾足球15,2t12,tt芭蕾0,022,5t23.考虑如下标准式博弈的均衡，存在的唯一纳什均衡就是每个参与人i都以1/2的概率选择H。利用海萨应纯化定理，构造一个扰动的不完全信息博弈，其纯战略贝叶斯纳什均衡收敛于以下完全信息的混合战略均衡（Gibbons书中习题3.5）。表3.31S2SHTH1，-1-1，1T-1，11，-14.在一个5人参加的私人价值的一级价格拍卖中0.82iibv是贝叶斯纳什均衡，ib是参与i的叫价，iv是参与人i的价值信息，独立的服从于6,7的均衡分布。利用显示原理构造一个直接机制，均衡结果与以上贝叶斯纳什均衡完全相同。5.一个垄断企业的成本函数为().cqqk,其中q是产量，为边际成本，k是固定成本。假定是私人信息，固定成本k和市场需求()qqp是共同信息。考虑如下直接机制{(),(),},pT其中p为政府规定的价格，T是政府对企业的补偿，是企业自己报告的成本。a.证明如果(),(),pTk则企业会谎报边际成本。b.在()p时，如何规定()T才能诱使企业说实话。6.两个企业同时决定是否进入一个市场。企业i的进入成本[0,)i是私人信息，i是服从分布函数()iF的随机变量以及分布密度()if严格大于零，并且1和2两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数mi；如果两个企业都进入，则企业i的利润函数为di；如果没有企业进入，利润为零。假定m和d是共同知识，且0md，计算贝叶斯均衡并证明对称均衡是唯一的。37.考虑如下结构的非对称信息的古诺博弈。市场逆需求函数paQ，企业的成本函数为11(cqq为企业1的产量水平）；企业2的成本函数为22cq2(q为企业2的产量水平)，2c可能取值为2(1,2,3,4)ici。企业2知道2c确切取值，但是企业1不知道其确切值，只知道22icc的概率为0.25。现在假定两个企业同时选择产量水平，且以上博弈结构是共同知识，求解均衡时企业的产量的水平。8.考虑如下非对称信息的产品差异化的伯川德博弈：企业i的市场需求iiijqapbp，两个企业生产成本都为零；1b取值是Hb或Lb且0HLbb，且1Hbb的概率为，而2(1)HLbbb；1b是企业1的私人信息，2b是共同信息。现假定两个企业同时选择价格，以上博弈结构是共同知识，求解以上博弈的贝叶斯纳什均衡（摘自Gibbons书上习题3.3）。9.考虑两个参与人的公共物品供模型。参与人1和2同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是0—1决策。如果任何一个参与人i已经提供公共物品，则每个参与人j都可以得到效用4。参与人i提供公共物品成本ic是在都定义域为,cc，分布函数为(.)F的随机变量，而且提供成本是参与人私人信息（摘自Tirole和Fudenberg例子6.1）。a.如果成本服从2,6均匀分布，求解其对称均衡。b.证明如果满足条件44(4),4cFcc，证明以上博弈存在非对称均衡。表3.41S2S提供不提供提供14c，24c14c，4不提供4，24c0，0410.考虑n个参与人的公共物品供模型。所有参与人同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是0—1决策。如果任何(1)kkn个或者以上的参与人已经提供公共物品，则每个参与人j都可以得到效用1，否则就是0。参与人i提供公共物品成本ic是在都定义域为0,2上的均匀分布的随机变量，而且提供成本是参与人私人信息，求出两个对称贝叶斯纳什均衡（改自Tirole和Fudenberg练习6.1）。11.在2n人参加的私人价值拍卖，参与人的类型iV都服从0,M上的均匀分布，参与人的类型iV是私人信息，iV的分布是共同知识。a.如果实行一级价格拍卖，则求对称的贝叶斯纳什均衡。b.如果实行二级价格拍卖，则求其贝叶斯纳什均衡。c.在以上两种类型拍卖中，证明拍卖人的期望收入相同。12.在一个三人参加的一级价格拍卖中，参与人i的类型it都服从0,2的均匀分布，而且12tt、和3t的分布独立。it是参与人i的私人信息，即参与人i只知道it的确切值，而不知道)jtji（确切值，仅仅知道jt的分布。（根据Myerson书中练习3.7和3.8加以改编）。a.如果2(0,1,2,3)iiVti，其中iV表示物品对参与人i的价值，则求解此时对称的贝叶斯纳什均衡。b.如果(0,,,1,2,3,)iijkVtttijkijk，其中iV表示物品对参与人i的价值，则求解此时对称的贝叶斯纳什均衡。c.a中标价高于b中的，说明理由。13.考虑一个离散两个参与的一级价格私人价值拍卖。物品对于参与人i的私人价值iV是私人信息，iV都取两个值：,,。参与人1的私人价值1V的概率是1F，参与人1的私人价值2V的概率是2F，以上信息都是共同知识。根据拍卖理论求出以上博弈的贝叶斯纳什均衡。514.考虑一个不完全信息两人博弈的消耗战模型。两个参与人同时出价iS，并且iS的取值范围为0,。每个参与人类型空间i是参与人的私人信息，取值范围为0,，对应的分布函数为()iF，同时1和2两者是独立的。现在假定参与人的效用函数为：ijiissus当时，；反之则iijus（摘自Tirole和Fudenberg例子6.3）。a.证明参与人最优出价战略是i的递增函数。b.如果()1exp()F，则求出其对称均衡。c.如果()1exp()F，证明以上博弈存在一个非对称均衡。15.（显示原理）证明任何一个贝叶斯纳什均衡的结果都可能用一个直接机制达到。16.海萨尼（1968）认为任何参与人关于博弈结构的不确定性都可以归结对于参与人效用函数的不确定性。更加重要地是，参与人对于其他参与人的效用函数的不确定性都可以形成主观概率，而在一般情况下所有参与人的主观概率分布应该是从共同的先验分布中导出。在此条件下，海萨尼认为任何不完全信息的博弈都有标准形式*iii,S,V,C,RGN，其中iS表示战略，iC表示参与人私人信息，iV表示效用函数，R表示所有不确定性的先验分布。在以上标准式基础上，海萨尼定义任何不完全信息博弈半标准战略式**iii(),S,Z,C,RGN和标准的战略式**ii(),S,WNGN,其中**()iiSSc表示参与人类型依存战略，*(,,)(/)iiiiiiicZVsccRcc表示参与人i类型为ic时的条件期望效用，*(,,)()iiiicWVsccRc表示参与人i的预期效用。在此基础上，海萨尼在半标准的战略式定义贝叶斯纳什均衡，即任何参与人i在给定类型ic时最大化此时的条件期望效用。a.类型依存战略*()sc是半标准式的贝叶斯纳什均衡充要条件是*()sc是标准式的纳什均衡。b.任何一个不完全信息的有限博弈都存在一个贝叶斯纳什均衡。617.考虑一个垄断定价模型。消费者的效用函数为0.5uqT，其中q是消费量，T是支付给垄断者的费用。垄断者成本函数为cq，并且垄断者拥有完全的讨价还价能力，消费者保留效用为0。消费者偏好参数可以取值1，2,3和4，123423并且(1,2,3,4)ii的概率为0.25。如果存在信息不对称，垄断者不知消费者的偏好参数，但是知道其分布。现在假设43，求解最优的销售计划。18.考虑一个垄断定价模型。消费者的效用函数为：uqt，其中q是消费量，t是支付给垄断者的费用。垄断者成本函数为2/2cq并且垄断者拥有完全讨价还价能力，消费者保留效用为0。消费者偏好参数可以取值1和2，12并且1的概率为p（摘自Tirole和Fudenberg练习7.8）。a.如果信息完全，求解此时最优消费q和支付t。b.如果信息不完全，即垄断者不了解消费者的偏好参数时，计算此时最优的消费量q和支付的费用t（假定12p）。c.现假定消费者可以花费f购买一项技术，其生产的成本函数为2/2cq。假定消费要么从垄断者购买产品，要么自身生产。最后假定技术满足：221212210()()/(1)22frfrpcpcc问在此条件下b中垄断厂商定价方案是否还是最优的？d.在c条件下，求出此时最优定价方案。19.考虑如下一个规制问题，政府与一个劳动者管理的企业的最优合同问题。劳动者管理的企业利润函数是：()fxkt，其中x是企业工人人数，()fx是企业收益函数且'(.)0,''(.)0ff，k是固定成本，t是政府的转移支付，是企业的私人信息。企业最优目标是最大化人均利润/x。证明一个单调递增的员工函数()x满足激励相容约束当且当：'/ffx。720.考虑如下讨价还价模型。买者的估价和卖者的生产产品的边际成本（固定成本为0）都是私人信息；买者类型为12vv或，且概率都为1/2，卖者的类型为12c或c，且概率都为1/2。假定1122cvcv且1122vcvc。a.证明如果所有事后有效交易都能实现，则212211cvvcvc。b.证明如果212211,cvvcvc，则所有事后有效交易必然能实现。21.（无效率定理）考虑一个两边不对称信息的交易模型。假定交易物品对于卖者的价值为1V，并且1V是卖者私人信息；交易物品对于买者的价值为2V并且2V是买者的私人信息；iV取值范围为,iiab，且累计分布(.)iF，且1V和2V的分布是独立的。a.证明如果满足21ab，所有事后有效交易都能实现。b.证明如果满足21ab，所有事后有效交易肯定不能都实现。22.考虑如下一个规制问题。一个公共服务的企业的成本函数()Ceqf，其中q是企业的产出，e是企业的努力，f是企业固定成本。规制者政府仅仅观察到企业的总成本C和产出q，不能观察到企业的类型。企业的效用函数是1()ute，其中e是政府的转移支付，(0)0,'()0,''()0ee；以及企业保留效用是0。企业技术参数取值为的概率为p，取值为为p。社会福利函数1()()(1)(())SqRqtCRqu，其中()Sq是消费者总剩余，()'()RqSqq是企业销售收入，是公共资金的影子成本（摘自Tirole和Fudenberg练习7.9）。a.如果政府规制者可以完全观察到,e，则最优的销售数量和企业努力。b.如果政府规制者不能观察到,e，则证明最优的企业努力满足：'()'()'()(1)()()(())peqeqepeee823.（电子邮件博弈）考虑如下贝叶斯博弈，参与人1为类型概率为0.9，而为的概率为0.1。现在参与人1和参与人2进行如下方式的交流；如果参与人1为类型，则参与1不向参与人2发送任何电子邮件；如果为类型,则向参与人2发送一封电子邮件，告诉参与人2自己是类型；自此之后，参与人2和类型为参与人1则会