中南大学复变函数考试卷试题及答案

应用数理统计试题第1页共5页中南大学考试试卷(B)2008--2009学年第二学期时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分考试形式：闭卷专业年级：教改信息班总分100分，占总评成绩70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、单项选择题（15分，每小题3分）1．设2,00,0zzfzzz，则fz的连续点集合为（）。（A）单连通区域（B）多连通区域（C）开集非区域（D）闭集非闭区域2．设()(,)(,)fzuxyivxy，那么(,)uxy与(,)vxy在点00,xy可微是fz在点000zxiy可微的（）。ABCD充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3．下列命题中，不正确的是（）。0Res,0Im1.zzAfzfzBfzDzfzDCeiDzei如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4．设c是1zit，t从1到2的线段，则argdczz（）。11444ABiCiDi5．设fz在01z内解析且0lim1zzfz，那么Res,0fz（）。应用数理统计试题第2页共5页2211AiBiCD二、填空题（15分，每空3分）1．Ln1i的主值为。2．函数ReImfzzzz()=+仅在点z=处可导。3．罗朗级数的11211133nnnnnnzz收敛域为。4．映射1wz，将圆域11z映射为。5．11coszdzz。三．(10分)求解析函数fzuiv()=+，已知22,()1uxyxyfii。四．(20分)求下列积分的值1．2241zzedzzz2．20sin0xxdxaxa五．(15分)若函数z在点0z解析，试分析在下列情形：1．0z为函数fz的m阶零点；2．0z为函数fz的m阶极点；求0Res,fzzzfz。六．（15分）写出函数2coszez的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。七．（10分）求函数13sin2fttuttt傅氏变换。应用数理统计试题第3页共5页中南大学考试试卷答案(B)2008--2009学年第二学期时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分考试形式：闭卷专业年级：教改信息班0701总分100分，占总评成绩70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上三、单项选择题（15分，每小题3分）1．A。2．B。3．A。4．C。5．C。四、填空题（15分，每空3分）1．ln24i。2．i。3．233z。4．半平面1Re2wR。5．0。三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。,0,000222,2(,)22211222xyxyvuvuyxxyxyyxvxyyxdxxydyCxdxxydyCxxyyC则四．(20分)求下列积分的值1．23ei2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的22ed2πRes[()e,]ixizxxiRzaixae2lim2ππ2izaaziazeiiiezia22220sin11dIm().22ixaxxxxedxexaxa因此五．(15分)应用数理统计试题第4页共5页00000000000!(1)0,nnmzzzzzzzzzzznzfzmzfzzzzzzzz解:函数在点解析等价于在的一个邻域内为的阶零点等价于在的一个邻域内其中在点解析,于是在的去心领域1001000000!,Res,2Res,nnfzmzzmzmzzzzmzzzfzzzzzznzfzzzmzfzfzzzmzfz由此可知与上面类似六．22222422422012211,cos211,.1,222!!111cos12!4!2!cos2cos,zznnnzznezRzezzzznzzzzznecczczzzezzcc函数距原点最近的奇点其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,即=收敛范围为由及幂级数的除法,可设注意到与均为偶函数,其展开式中不含项可知2324222420202424011111112!!2!4!2!3291,,,2243291cos2242nnnzzzzcczzzznncccezzzz于是比较同次系数得故七．（10分）证明：[1]2F21[()]()tutiF应用数理统计试题第5页共5页3[3]iteF[sin2]22tiF从而321[]2()22ifteiF