高中数学(瞻前顾后+要点突出+典例精析+演练广场)1-3-1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教

想一想：1．柱体、锥体、台体的表面积公式S表面积＝S侧面面积＋S底面面积圆柱、圆锥、圆台的表面积：S圆柱＝2πr(r＋l)．S圆锥＝πr(r＋l)．S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．其中r，r′为底面半径，l为母线长．2．柱体、锥体、台体的体积柱体：V＝Sh，V圆柱＝πr2h.锥体：V＝13Sh，V圆锥＝13πr2h.台体：V＝13(S′＋S′S＋S)h，V圆台＝13π(r′2＋r′r＋r2)h.其中S、S′为底面面积，h为高，r、r′为底面圆半径．做一做：1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是(A)(A)3π(B)33π(C)6π(D)9π解析：设底面圆半径为r，则34(2r)2＝3，∴r＝1，母线l＝2，∴S底＝πr2＝π，S侧＝πrl＝2π，∴S表＝3π.故选A.2．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的(C)(A)12(B)14(C)18(D)24解析：底面边长缩小为原来的12，则底面面积缩小为原来的(12)2＝14，又棱锥的体积V＝13Sh，高也缩小为原来的12，∴体积缩小为原来的14×12＝18.故选C.3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为(B)(A)π4(B)π(C)54π(D)32π解析：由三视图知该几何体为圆柱，底面半径为12，母线长为1，S圆柱侧＝2πrl＝2π×12×1＝π，故选B.4．用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的正方体完全包住，不能将正方形纸撕开，则所需包装纸的最小面积为____．解析：考虑将无盖的正方体展开(如图)，正方形的包装纸刚好将展开图覆盖，此时正方形四个角落的等腰直角三角形刚好可以组成一个正方形，从而达到封住正方体盖子的效果．通过计算知，此时包装纸的边长最小为22a，故所需包装纸的最小面积为8a2.答案：8a2知识要点一：柱体、锥体、台体的表面积柱体(锥体、台体)的表面积等于底面积与侧面积之和．可由几何体的侧面展开图求柱体(锥体、台体)的侧面积．圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系：知识要点二：柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：求几何体的表面积【例1】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？(精确到0.01m2)思路点拨：求出圆柱与圆锥的侧面积之和．解：上部分圆锥体的母线长为1.22＋2.52，其侧面积为S1＝π×52×1.22＋2.52.下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8.S＝S1＋S2＝π×52×1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.03(m2)．所以，要搭建这样的一个蒙古包至少需要约50.03平方米的篷布．正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题．注意区分是计算面积，还是计算体积．变式训练11：一个圆柱的底面面积是S，其侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为()(A)4πS(B)2πS(C)πS(D)233πS解析：设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝Sπ，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2Sπ＝4πS.故选A.求几何体的体积【例2】一块边长为acm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心)形容器．设所裁等腰三角形的底边边长为xcm，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．思路点拨：利用侧面的高和底面边长求正四棱锥的高．解：如图，正四棱锥PABCD中，连结AC、BD交于O，O是底面ABCD的中心，过点P作PE⊥BC，垂足为E，连结PO、OE，则PE＝a2cm，OE＝x2cm，在Rt△POE中，PO＝PE2－OE2＝14a2－14x2＝a2－x22cm，V＝13SABCD·PO＝13·x2·a2－x22＝x2a2－x26cm3.依题意函数的定义域为{x|0＜x＜a}．(1)在解决棱锥、棱台的体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．(2)有关旋转体的体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．变式训练21：如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个三棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而三棱锥CA′DD′的底面面积为12S，高是h，因此，三棱锥CA′DD′的体积VCA′DD′＝13×12Sh＝16Sh.剩余部分的体积是Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh∶56Sh＝1∶5.空间几何体表面上的最短距离【例3】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝2，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是________．思路点拨：将三棱柱分别沿A1B1、A1C1、B1B展开成平面图形并计算EF的值，比较之后取最小值即可．解析：将三棱柱侧面、底面展开有三种情况，如图．在(1)中EF＝A1E2＋A1F2＝12＋3222＝222；在(2)中EF＝EG2＋FG2＝22＋1＋222＝14＋422；在(3)中EF＝EG2＋FG2＝322＋322＝322.比较后可知(3)最短．柱、锥、台体表面路线最短问题，可以借助于几何体的平面展开图，将空间问题转化为平面问题来解决，要注意展开时，沿着哪条棱展开，情况是否相同．空间几何体的体积与表面积在实际生活中的应用【例4】养路处建造圆锥形仓库(无底)用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来增加4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？思路点拨：分别求出两种情况下的体积及表面积，再按体积大小与表面积大小作出判断．解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变为16m，则仓库的体积V1＝13Sh＝13×π×(162)2×4＝2563π(m3)．如果按方案二，仓库的高变为8m，则仓库的体积V2＝13Sh＝13×π×(122)2×8＝96π(m3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变为16m，半径为8m，圆锥的母线长为l1＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S1＝π×8×45＝325π(m2)．如果按方案二，仓库的高变为8m，半径为6m，圆锥的母线长为l2＝82＋62＝10(m)，则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．(3)∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济．解决应用题的关键是将实际问题的关系转化为数学上的量与式子，通过计算解决问题．变式训练41：如图，降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，求本次降雨的降水量是多少？(精确到1mm)解：由所盛雨水正好是桶深的17可知，水深为357＝5(cm)，设水面半径为r，如图所示，在△ABC中，ACA′C′＝CBC′B，即7r－12＝7，所以r＝13(cm)．所以V水＝π3×5×(122＋132＋12×13)＝2345π3(cm3)，S上底＝πR2＝π·192＝361π(cm2)，所以V水S上底＝2345π3361π≈22(mm)．所以本次降水量约是22mm.1．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是(C)(A)2(B)2.5(C)5(D)10解析：设母线长为l，则S侧＝π(1＋3)l＝4πl.S上底＋S下底＝π·12＋π·32＝10π.据题意4πl＝20π即l＝5，故选C.2．如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则其体积是(B)(A)423(B)433(C)36(D)83解析：由几何体的三视图知几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为3，则几何体的体积V＝13×22×3＝433，故选B.3．(2009年德州市学业水平测试卷)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(A)(A)1＋2π2π(B)1＋4π4π(C)1＋2ππ(D)1＋4π2π解析：设圆柱底面圆半径为r，则柱高为2πr，S表＝2πr2＋(2πr)2，S侧＝(2πr)2，∴S表S侧＝2πr2＋4π2r24π2r2＝12π＋1＝1＋2π2π，故选A.4．如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝14A1B1，则多面体PBCC1B1的体积为(B)(A)83(B)163(C)4(D)16解析：VPBCC1B1＝13·SBCC1B1·PB1＝163，故选B.5．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm，高为2cm，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm(结果保留根式)．解析：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求，在Rt△ABC中，AB＝π·2π＝2cm，BC＝2cm，AC＝22cm.答案：226．(2009年高考天津卷)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a＝________.解析：由三视图知，该几何体为直三棱柱(如图)，底面三角形中，边长为2的边上的高为a，V＝(12×2×a)×3＝33，a＝3.答案：3能力提升7．四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是(C)(A)127(B)116(C)19(D)18解析：(特值法)不妨设四面体为正四面体，棱长为1，由条件可知四面体EFGH也是正四面体，棱长为13，故它们的表面积之比等于棱长之比的平方，即19.8．(2009年济南市名校调研卷)现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深度是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm.设0＜a≤8，水箱里盛有深为acm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，则水深为(D)(A)2cm(B)10cm(C)(a＋2)cm(D)5a4cm解析：设水深为xcm，则依题意100x＝(x－a)×25×20，解之得x＝54a，故选D.9．一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，根据公式即可算出底面半径r，则容积易得．即2πr＝14×2π×4，则r＝1.又母线长为4cm，h＝42－12＝15，则V＝13πr2h＝13·π·r2·15＝153π.10．从一个半径为(1＋3)m的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是以正方形的边为边长的四个正三角形(如图)，并以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个四棱锥PABCD，求该锥体的体积．解：根据平面图形的对称性，设正方形边长为a，则有2＋23＝a＋2×32a，∴a＝2，折叠后的四棱锥为底面是正方形的一个正四棱锥，P1、P2、P3、P4重合为P，PB＝a＝2，可求得P到平面ABCD的距离为2，∴VPABCD＝13·S四边形ABCD·h＝13a2·2＝423(m3)．故该锥体的体积为423m3.11．如图，一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直