第二章热传导方程

分析：（两个物理定律）1、热量守恒定律:2、傅里叶（Fourier）热传导定律:温度变化吸收的热量通过边界流入的热量热源放出的热量(,,),udQkxyzdSdtn为热传导系数。(,,)kxyz任取物体内一个由光滑闭曲面所围成的区域，研究物体在该区域内热量变化规律。1Q热传导方程的推导：GS热量守恒定律区域内各点的温度从时刻的温度改变为时刻的温度所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻到时刻这段时间内通过曲面流入（或流出）内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即1t2t1(,,,)uxyzt2(,,,)uxyzt1t2tS内温度变化所需要的热量=通过曲面流入内的热量+热源提供的热量QS2Q下面分别计算这些热量(,,),ccxyz（1）内温度变化所需要的能量QG那么包含点的体积微元的温度从变为所需要的热量为1C21[(,,,)(,,,)]dQcuxyztuxyztdVdV设物体的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量）为密度为(,,),xyz(,,)xyz1(,,,)uxyzt2(,,,)uxyzt整个内温度变化所需要的能量Q221121[(,,,)(,,,)]()[](1.1)ttttQdQcuxyztuxyztdVuucdtdVcdVdttt（2）通过曲面进入内的热量1QS由傅里叶热传导定律，从到这段时间内通过进入内的热量为2t1tS211(,,),ttSuQkxyzdSdtn由高斯公式xSdivAdxdydzAndS知211[(()()())].(1.2)ttuuuQkkkdVdtxxyyzz（3）热源提供的热量2Q用表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从到这段时间内内热源所提供的热量为(,,,)Fxyzt2t1t212[(,,,)](1.3)ttQFxyztdVdt由热量守恒定律得：221121[][(()()())][(,,,)]ttttttuuuucdVdtkkkdVdttxxyyzzFxyztdVdt由及的任意性知12,tt()()()(,,,).(1.4)uuuuckkkFxyzttxxyyzz三维无热源热传导方程：22222220.(1.6)uuuuatxyz三维有热源的热传导方程：（均匀且各向同性物体，即都为常数的物体）2222222(,,,),(1.5)uuuuafxyzttxyz2,,kFaffcc其中称为非齐次项（自由项）。,,ck通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：0:(,)(,,),(,,),(1.7)tuxtxyzxyzG边界条件：1、第一边界条件（Dirichlet边界条件）特别地：时，物体表面保持恒温。(,,,)0gxyzt(,,,),(,,),0,(1.8)ugxyztxyzt()G2、第二边界条件（Neumann边界条件）(,,,)0gxyzt特别地：时，表示物体绝热。3、第三边界条件(D-N混合边界条件)(,,,),(,,),0,(1.9)ukgxyztxyztn(,,,),(,,),0,(1.10)uugxyztxyztn1110,.kkgukk其中：表示沿边界上的单位外法线方向的方向导数unun注：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题把一个温度变化规律为的物体放入空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为，它与物体表面的温度并不相同。这给出了第三边界条件的提法。1(,,,)uxyzt(,,,)uxyzt(,,,)uxyzt热传导试验定律或牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：11(),(1.11)dQkuudSdt其中比例常数称为热交换系数10k流过物体表面的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：11(),ukdSdtkuudSdtn或11().ukkuun(,,)()|(,,,).xyzuugxyztn即得到（1.10）：三、定解问题定义1在区域[0,)G上，由方程（1.5）、初始条件（1.7）组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。例如三维热传导方程的初值问题为：20(,,)()(,,,),(,,,),0,(,,,)|(,,),(,,,),|(,,,),0.txxyyzztxyzuauuufxyztxyzttuxyztxyzxyztugxyztt定义2在区域3[0,)R上，由方程（1.5）和初始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问题为：2330()(,,,),(,,,),0,(,,,)|(,,),(,,,).txxyyzztuauuufxyztxyztRtuxyztxyzxyztR2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。1、方程（1.6）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；注4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方程：222.(1.12)uuatx而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：22222().(1.13)uuuatxy第二节初边值问题的分离变量法考虑一维热传导方程的初边值问题212(,),0,0,0:(),0,0:();:(),0.txxxuaufxtxlttuxxlxutxluhutt不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题2(,),0,0,0:(),0,0:0;:0,0.txxxuaufxtxlttuxxlxuxluhut211(,)[()()]().1xVxtthtthl20,0,0,()0:(),0,0:0,:0,0;txxxuauxltItuxxlxuxluhut和上述定解问题可分解为下面两个混合问题：2(,),0,0,()0:0,0,0:0,:0,0.txxxuaufxtxltIItuxlxuxluhut则（II）的解为:0(,)(,;),tuxtwxtd(,;)(,).twxtfx问题（I）的通解形式为：21(,)sin,(2.14)katkkkuxtAex01()sin(2.19)lkkkAdM其中由下面给出：,kkA20,0,0,(2.1)0:(),0,(2.2)()0:0,0;(2.3):0,0;(2.4)txxxuauxlttuxxlIxutxluhut考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）：tan,kklh220sin.(2.18)22()lkkklhMxdxh问题（II）的解：2()01(,)sin(),ktatkkkuxtxBed其中01()(,)sin.lkkkBfdM非齐次方程混合问题的解：21(,)sinkatkkkuxtAex01()sin,lkkkAdM2()01sin(),(2.20)ktatkkkxBed01()(,)sin.lkkkBfdM定理2.1：1([0,]),(0)()0,Cll则由公式(2.14)给出的级数是混合问题(2.1)-(2.4)的古典解。设(,)uxt齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：21(,)sin,(2.14)katkkkuxtAex►当为有界函数时，(2.14)式给出的形式解关于以及均是任意次连续可导的，且满足方程(2.1)和边界条件(2.3)-(2.4)。xt()x分离变量法的解题步骤：1、令代入方程和边界条件，确定所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的方程；2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的表达式；3、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。(,)()()uxtZxTt()Zx()Tx()kTx2();katkkTtCe注：1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。（1）、将变量分离形式代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数；（2）、将，方程的非齐次项，以及初值都按照特征函数进行Fourier展开；(,)()()uxtZxTt(,)uxt(,)fxt()x————————————————————————1(,)()sin;kkkuxtTtx1(,)()sin;kkkfxtftx1()sin;kkkxx01()sin;lkkkdM01()(,)sin;lkkkftftdM其中:2.22()kklhMh（3）、解初值问题'2()()(),(0).kkkkkkTtaTtftT22()0()().kktatatkkkTtefed解为：非齐次方程混合问题的解：21(,)sinkatkkkuxtex2()01sin().ktatkkkxfed第三节初值问题—Cauchy问题考虑一维热传导方程的初值问题2(,),,0,(3.1)0:(),,(3.2)txxuaufxtxttuxx一、傅里叶（Fourier）变换及其基本性质傅里叶变换:()(),(3.3)igfed1()(),(3.4)2ixfxged傅里叶逆变换:()[](),gFforf记为:1()[]().fxFgorgx记为:定理3.1：（Fourier积分定理）若在上绝对可积且连续可微，则有:()fx(,)1()(),(3.5)2iixfededfx1[[]]().FFfforff简记为:公式（3.5）称为Fourier反演公式。性质1、（线性性质）性质2、（微商性质）11221122[]();ffff11221122[];ffff'[()]();fxif[()]();dfixfxd性质3、（乘多项式性质）[()]();dixfxfd[()]();diffxdx性质4、（卷积性质）[];fgfg性质5、（乘积性质）1[];2fgfg[]2;fgfg[];fgfg()();mmmdfifdx()();mmmmdxfxifd(1)m1)、（位移性质）2)、（相似性质）[()]();ibfxbef1[()];||faxfaa