阿波罗尼圆的画板实现及应用

阿波罗尼圆的画板实现及应用——兼谈几何画板中自定义工具的实现及应用张志勇（江苏省常州市第五中学）摘要：从具体画板操作入手（即阿波罗尼圆的画板的两种实现方法），进而涉及画板高级功能的研究（即自定义工具的创设）；并在具体案例应用得出启示：教育技术可以为“研究数学”提供有效载体，而技术支持下的数学教育情境创设离不开教师的研究和设计。关键词：阿波罗尼圆；教育技术；构造；自定义工具；几何画板我们知道，到两定点F1、F2的距离之和为定值（大于F1F2）的点M的轨迹为椭圆，而距离之差为定值（小于F1F2）的点M的轨迹为双曲线，那么圆是否有相类似的结论呢？答案是肯定的，事实上满足到两定点F1、F2的距离之比为定值t(t0且t≠1)点M的轨迹为圆，这个结论是阿波罗尼(Apollonius，约前260～前190)发现的，所以往往称为阿波罗尼圆。但圆的这一性质比较“隐晦”，为帮助学生直观理解需要我们创设“所见即所得”的教学情境，本文以几何画板5.0为例谈谈在画板环境中阿波罗尼圆的构造方式，并与读者分享画板中自定义工具功能的实现与应用。一、阿波罗尼圆的画板实现1.几何构造法实现阿波罗尼圆步骤1、构造一直线上两点F1、F2，新建参数t，其初值赋为2；步骤2、度量计算1tt并标记为比值，双击点F1标记为中心，选中F2按标记比值缩放得到点P；步骤3、度量计算1tt并标记为比值，双击点F1标记为中心，选中F2按标记比值缩放得到点得到点Q；步骤4、构造线段PQ并构造线段PQ的中点C，以C为圆心以P为圆上一点构造圆C。试试效果如何？取圆C上任意一点M构造线段MF1、MF2，并先后选中两线段度量比值，拖动点M会发现比值不变并且与参数t值恒相等（如图1所示）。2.解析构造法实现阿波罗尼圆步骤1、在x轴上任取两点F1、F2，度量其横坐标将标签分别设为x1、x2，新建参数t初值赋为3；步骤2、计算121xtxt，选中后点击〖绘图〗菜单中的〖在轴上绘制点〗命令，在弹出窗口中选择“绘制”按纽得到点P；图1图2步骤3、计算121xtxt，重复步骤2可得到点Q；步骤4、同方法一，以PQ为直径构造圆C。我们也可仿照方法一验证效果（如图2所示）。3.实现方法构造详解及比较从以上构造过程我们可以发现，确实阿波罗尼圆关键在于找到圆与直线F1F2的交点P、Q（因为圆C以PQ为直径）。事实上，P、Q两点一个在线段F1F2内一个在线段F1F2外，于是这两个点便称为圆的内分点、外分点；更进一步地，如果参数t1，则Q点在F1F2的延长线上，此时圆C偏向F2一侧；如果0t1，则Q点在F1F2的反向延长线上，此时圆C偏向F1一侧。这样，我们可以将实现阿波罗尼圆问题界定为“知三求二”问题：三条件（定点F1、F2、定值t）确实两结论（内分点P、外分点Q），而确定P、Q点的位置恰是构造的重点和难点。【评注】方法一将点F2以F1为中心进行放缩属于几何构造，而放缩比例分别确定为1tt、1tt却是考虑到1122FPFQtPFQF的缘故；方法二则是解析法计算，为将问题简化，我们将F1、F2限定在了x轴上，设F1(x1,0)、F2(x2,0)、P(x,0)，由12FPtPF可得12xxtxx从而111txxt，这样便可确定点P，同理可得到点Q。两种构造方法本质上是一致的，都用到了定比分点公式，相比较而言方法一略显繁琐。二、自定义工具的创设及应用1．自定义工具的创设以方法1为例，先后选中参数值t、点F1、点F2和圆C，点击工具栏中的自定义工具选项，弹出窗口中选择创建新工具（如图3所示）；在弹出“新建工具”窗口的〖工具名称〗中输入“阿波罗尼圆”点击确实即可。如果在“新建工具”窗口中勾选显示脚本视图（如图4所示），我们会发现“阿波罗尼圆”工具的先决条件为度量结果t、点F1、F2，只要给定这三个先决条件便可得到相应的阿波罗尼圆C，简而言之相当于由条件“度量结果t、点F1、F2”便可得到结论“圆C”。需要强调的是：一方面创设工具时要关注F1、F2的选中的先后顺序，如果顺序错了得到的结果就“南辕北辙”了；另一方面如果在创建工具过程中同时选中“点C、线段MF1、线段MF2”的话，我们会发现结论中也多了相应的结果，读者不妨一试；同时，对于方法二的构造而言，因为构造过程中依赖于坐标系，所以在创新工图3图4图5具时选择对象应包括坐标轴，这样需要选中轴x、轴y、参数值t、点F1、点F2和圆C，但在“脚本视图”中出现的先决条件只有“轴y、轴x、度量结果t”（如图5所示），究其原因在于在工具的操作步骤中画板将点F1、F2设置为自由点了。2．自定义工具的应用举例案例（2009年江苏高考第18题的推广）：圆C1和圆C2的半径分别为r1、r2，则平面上存在两个点P满足：过点P有无穷多对夹角为2的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长比值为12rr。步骤1、构造线段r1、r2，点C1、点C2；以C1为圆心r1为半径构造圆C1，同理得到圆C2，度量r1与r2的线段长的比值并将标签修改为t；步骤2、点击工具栏中的自定义工具选项，选中自定义工具“阿波罗尼圆”，先后选中比值t及点C1、点C2，得到相应的阿波罗尼圆M；步骤3、以C1C2为直径构造圆N，构造圆M与圆N的交点P1、P2（这便是我们要找寻的定点，如图6所示）。步骤4、过P1作两条相互垂直的直线l1、l2，度量C1、C2到两条直线的距离（效果如图7所示）。三、两点思考和启示1．教育技术可以为“研究数学”提供有效载体以案例中所涉及问题为例，如果仅以代数推演的方式我们可以得出正确的结论，但只囿于以教师讲述启发学生用“心灵”去想象，对于学生来说除了被动接受一无意义的事实外便无所收获了，而在图7创设的情境里学生可以在感受数学结论的真实性的同时产生探究欲望，继而积极探求影响结果的数学本质（当然要达成这一目标还需要我们推敲细节设计过程），从而使数学研究成为学生的内在诉求。事实上，以几何画板为代表的教育技术能为学生提供“多元联系表征”的学习环境，因为作为一种认知工具，教育技术能对同一数学对象（数学的概念、法则、表达式、定义等等）给出几种不同表征，从而对学生真实理解数学产生重要影响；与此同时，教育技术能为学生创设数学研究情境，让学生在观察问题、猜想结论、验证猜想、体验本质、归纳和发现新结论的过程中感受数学的全过程。因此我们需要发挥教育技术的力量，更好地组织和管理教学资源，构建交互式、多样化的实验学习环境，呈现“以往教学中难以呈现的课程内容”；促进学生对数学的基本理解和形成直觉思维，使学生感受“数学是自然的，数学是清楚的，数学是水到渠成的”。2．教育技术支持下的数学情境创设离不开教师的精心设计我们知道，几何画板作为一种动态几何演示软件，可以把抽象的数量、图形关系形象地描述出来，图6图7再现真实环境的数形的动态变化过程。但如何利用几何画板构建易于学生理解和接受的问题情境，创建易于学生观察问题、猜想结论、验证猜想、体验本质、归纳和发现结论的数学实验平台，这就离不开教师的精心设计、巧妙构造。一方面我们需要研究技术本身，因为“工欲善其事必先利其器”，如需要在实践中思考几何画板5．０版本的新功能（方法2中“在轴上绘制点”便是一例）和目标问题的构造实现方法，使技术成为如纸笔一样方便的数学研究工具（在此一过程中，需要重视自定义工具的创设和应用）。更为重要的是，我们不应仅仅局限于使用技术的绘图、测算、演示探索功能去组织教学，更应该从方法论高度来认识教育技术，需要设计好数学探究和发现的流程，因为计算机技术本身只是工具，它在数学教学中的优势并不是天然就有的，好的教学设想才是灵魂。