线性变换课堂ppt

LOGO线性变换小组成员：陈俊、周文、蓝湘源、覃遵洋、杨潇彭浩林LOGO•定义一个二元运算,满足以下两个条件：•（1）将所有向量的横坐标拉伸至原来的2倍；•（2）将所有向量的纵坐标缩短至原来的1/2；LOGO向量的伸缩与矩阵•我们先举一个最简单的例子：如图所示，有两个向量OA=OB=其和向量OE=。定义运算T()=A·=·。则T()=，T()=，T()=。由此，我们得出T(OA)+T(OB)=T(OA+OB)。通过计算我们可以得出T（kOA)=kT（OA）256LOGO•可见此变换：•（1）将所有向量的横坐标拉伸至原来的2倍；•（2）将所有向量的纵坐标缩短至原来的1/2；•经过变换后，原来的坐标变成了坐标变成了•这种变换是一对一的，我们用来表示变换后的结果)(yxTyxLOGO投影变换•再看看一个例子：•如下图所示，有两个向量OB=，OA=，•定义运算T()=A·=·。则T()=，T()=。LOGO•可见此变换，对变换的向量都将产生此向量在x轴上的投影。•经过变换，经过变换后，原来的坐标和变成了•注意到OB，OA原先是线性无关的向量，经过变换后变成了线性相关的向量。•此变换也满足T(OA)+T(OB)=T(OA+OB).•T（kOA)=kT（OA）.LOGO•由前面的例题可以看出，有很多变换存在以下性质：•对任意两个向量α,β,和一个常数k,有一种变换T能使得)()()()()(kTkTTTTLOGO预备知识：线性空间•严格定义：设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素α和β，在V中都有唯一的一个元素γ与他们对应，称为α与β的和，记为γ＝α＋β．在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素α,在V中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k与α的数量乘积，记为δ＝kα．如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间．LOGO•在以下规则中，k,L等表示数域P中的任意数；α，β，γ等表示集合V中任意元素；•加法满足下面四条规则：•1）α＋β＝β＋α；•2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；•3）在V中有一元素0，对于V中任一元素α都有•α＋0＝α•(具有这个性质的元素0称为零元素)；•4）对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得•α＋β=0(β称为α的负元,记为-α)•数量乘法满足下面两条规则：•5）1α＝α；•6）k(Lα)=(kL)α；•数量乘法和加法满足下面两条规则：•7）（k+L）α＝kα＋Lα；•8）k（α＋β）＝kα＋kβ．•LOGO•通俗点讲，线性空间就是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。•“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。•线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。LOGO子空间•定义：向量空间V的一个子空间是满足以下三个性质的V的一个子集H：•a.V中零向量在H中；（即子空间H过向量空间V的原点）•b.H对向量加法封闭，即对H中任意向量u，v,和u+v仍在H中；•c.H对标量乘法封闭，即对H中任意向量u和任意标量c，向量cu仍在H中.•表示形式：Span{v1,…,vp}（其中v1…vp在向量空间V中）LOGO•你掌握了吗？•例：设a1,a2,a3是实线性空间V中的向量，且有k1a1+k2a2+k3a3=0(k1*k2不等于0）求证：Span(a1,a2)=Span(a2,a3)请思考一下题目的意思，并解答。题目的意思就是说a1,a2张成的子空间(由a1,a2线性组合构成的向量全体)和a2,a3张成的子空间相等。此题结论是错的，比如a1=a2=0,a3非零。LOGO线性变换的概念•设V是数域F上的线性空间，T是一个到自身的映射，则称T是V上的一个变换。如果对任意α，β∈V，k∈F，变换T满足：•T(α+β)=T(α)+T(β)，T(kα)=kT(α)，•则称T是V的线性变换。LOGO•对于T(X)=AX，当X是数时，A也是数时，就是一般的代数变换；若X是矩阵，A也是矩阵时，就是矩阵变换。•对于线性变换的一些性质可以用正比例函数来理解记忆，即y=kx。LOGO二、线性变换的简单性质1．T为V的线性变换，则T(0)=0T(-a)=-T(a)2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若b=k1a1+k2a2+k3a3+…+knan则T(b)=k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+…+knT(an)3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组.即若a1,a2,a3,…,an线性相关，则T(a1),T(a2),T(a3),…,T(an)也线性相关.事实上，若有不全为零的数k1,k2,k3,kn使k1a1+k2a2+k3a3+…+knan=0则由2即有，k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+…+knT(an)=0LOGO•注意：3的逆不成立，即T(a1),T(a2),T(a3),…,T(an)线性相关，a1,a2,a3,…,an未必线性相关.•事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组.如投影变换.LOGO旋转的引入•再举一个简单的例子：如图所示，在坐标系里有一个向量（5，2）。以原点为旋转中心，逆时针旋转45°角。求旋转后的向量。LOGO•根据平行四边形定则，我们可以把向量分解成•，的和，250520LOGO•把向量a逆时针旋转45o角，得到的向量记为T（a）,则45sin545cos5)05(T45cos245sin2)20(TLOGO•再根据平行四边形定则，我们可以得到向量,•的和：45cos245sin545sin245cos5)05(T)20(T)20()05()25(TTTLOGO•如果把改成,把45°改成θ角，•根据刚才的思路，•可以得到：25yx)0()0()00()(11yTxTyxTyxTyxcossinsincoscossinsincosyxyxyyxxyxcossinsincosLOGO•因为这里T是旋转变换，所以A被称为旋转矩阵，•而且注意到这里有（1）ATA=AAT=In；•（2）detA=1≠0;(可逆矩阵)•所以A也是正交矩阵。yxyxTyxcossinsincos)(11yxAyxT)(cossinsincosA其中，LOGO•聪明的你，•是不是明白了？•现在还有一道题，急需聪明的你来解决。LOGO例题假设在水平面上有一个地球仪。我们以地面为水平面建立三维坐标系，它的原点和地球仪的球心重合。而地球仪还有一根地轴，这地轴刚好在Y-O-Z平面上，并且跟Z轴的夹角为θ角。现在已知地球仪上的一个点A(x0,y0,z0)，当地球仪自西向东（逆时针）转动α角后，A点的位置变了，请计算出A点的新坐标A’。•现在给大家30秒时间思考……LOGO•是不是有点难度？•直接绕着地轴转，很难想！！•给大家点提示：LOGOLOGO•看出来了吗？•(a)先让球绕着Y轴(从X到Z的方向)旋转θ角，让地轴和Z轴重合，这时Y轴方向的坐标不会改变。•(b)再让球绕着地轴(从X到Y的方向)旋转α角，这时Z轴方向的坐标也不会改变。•(c)最后不要忘记把地轴转回原来的位置，把球绕着Y轴(从Z到X的方向)旋转θ角。LOGO•(a)先让球绕着Y轴(从X到Z的方向)旋转θ角，让地轴和Z轴•重合。这时Y轴方向的坐标不会改变。•经过旋转变换，我们得到：•把结果记为：cossinsincos00101001zxzyyzxxLOGO•(b)再让球绕着地轴(从X到Y的方向)旋转α角，这时Z轴方向的坐标也不会改变。•经过旋转变换，我们得到：•记为：12112112cossinsincoszzyxyyxxLOGO•(c)最后把球绕着Y轴(从Z到X的方向)旋转θ角。•与(a)类似，可以看成：让球绕着Y轴(从X到Z的方向)旋转-θ角•结果得到：•可记为：cos*sin*sincos22222zxzyyzxxLOGO•综上所述，有：LOGO•结果为：将中间三个矩阵乘起来，可以将上式简化为：LOGO其中：A000zyxAzyxLOGO谢谢观赏