武汉理工大学概率论与数理统计A卷符答案

武汉理工大学考试试题纸考试试题纸考试试题纸考试试题纸（A卷）课程名称概率论与数理统计专业班级全校本科题号一二三四五六七八九十总分题分24101010101010106100备注:学生不得在试题纸上答题（含填空题）附表：附表：附表：附表：,5120.0)03.0(,7881.0)8.0(,975.0)96.1(,59.0)1.645(=Φ=Φ=Φ=Φ,9995.0)3.3(,5059.0)1.65(=Φ=Φ,7109.1)24(,7081.1)25(05.005.0==tt,0639.2)24(,0595.2)25(025.0025.0==tt,3060.2)8(025.0=t.8595.1)8(05.0=t一.填空题：（每空3分，共24分）1.袋内有5只红球，3只黑球，设=A{从中任取的两只都是红球}，事件B与A互不相容，且61)(=BP,则=)|(BAP.2.设事件A与B相互独立，且16.0)(=BAP，)()(BAPBAP=，则=)(BAP∪.3.设随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧=其他,010,)(xxAxf，Y表示对X的4次独立观察中事件{}5.0≤X出现的次数，则=)(2YE.4.设随机变量X与Y相互独立，其中{}{}3111=−==−=YPXP,{}{}3211====YPXP，则{}==YXP.5.设随机变量]6,0[~UX，)3(~πY（泊松分布），25.0=XYρ，则=−)2(YXD.6.设621,,,XXX⋯为总体)1,0(~NX的一个简单随机样本，26542321)()(XXXXXXY+++++=，且cY服从2χ分布，则=c.7.设4321,,,XXXX是总体)(~λEX(指数分布，其中0λ)的简单随机样本，)(4321XXXXT+++=α是参数1−λ的无偏估计量，则=α.8.已知某批钢球的直径服从正态分布，从中抽取容量为25=n的简单随机样本，测得5.38=x，3.2=s（单位:mm），则总体均值µ的置信度为0.95的置信区间为（结果保留两位小数）.二.(10分)在电源电压不超过200伏，在240200−伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为1.0，001.0和2.0.假设电源电压).25,220(~2NX求：(1)电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在240200−伏的概率.三.(10分)一箱中有12只同型的配件，其中3只是次品，装配工在使用时任取一只，若是次品，则扔掉重取一只，直到取得合格品为止，以X表示在取得合格品前已取出的次品数.求：(1)X的分布律；(2)分布函数值)5.2(F;(3))(XD.四.(10分)设随机变量X服从参数为1的指数分布，求2XY=的概率密度.五.(10分)设二维随机变量),(YX在区域{}10|),(=xyyxG上服从均匀分布，求边缘概率密度，),cov(YX及条件概率{}5.05.0≤≤YXP.六.(10分)某单位有260部电话，每部电话约有%4的时间使用外线通话.设每部电话是否使用外线通话是相互独立的，试用中心极限定理说明该单位总机至少要安装多少条外线，才能以%95以上的概率保证每部电话需要使用外线通话时可以打通.七.(10分)设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅=+−.,0,,1);()11(1cxcxxcxfθθθθ，其中θ)10(θ是未知参数，c)0(c为已知常数.n21,,,XXX⋯是来自总体X的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计.八.(10分)有一批枪弹，出厂时其射出枪口的初速度)10,950(~2NV（单位：sm/），在储存较长时间后取出9发进行测试，得样本值：940,924,912,945,953,934,910,920,914.据检验，储存后的枪弹射出枪口的初速度V仍服从正态分布，且方差不变.问是否可认为这批枪弹的平均初速度已显著降低)05.0(=α?九.(6分)r个人在一楼进入电梯，楼上有n层，设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同.求直到电梯中的乘客出空为止时，电梯需要停的平均次数.试题标准答案一、填空题1.73，2.0.76，3.47，4.95，5.12，6.31，7.41，8.（37.55,39.45）.二、令}{元件损坏=A，}200{1伏电压不超过=B，}240~200{2伏间电压在＝B，}240{3伏电压超过=B.2119.0)8.0(1)8.0()25220200()200(}200{)(1=Φ−=−Φ=−Φ==≤=FXPBP5762.01)8.0(2)8.0()25220240()200()240(}240200{)(2=−Φ=−Φ−−Φ=−=≤=FFXPBP2119.0)8.0(1}240{1}240{)(3=Φ−=≤−==XPXPBP....（1）由全概率公式有064.02119.02.05762.0001.02119.01.0)|()()(31=×+×+×==∑=iiiBAPBPAP（2）由Bayes公式有009.0064.0001.05762.0)()|()()|(222=×==APBAPBPABP三、（1）由题知，X所有可能的取值为0，1，2，3.且{}431290===XP，{}4491191231=×==XP，{}22091091121232=××==XP，{}220111011121233=×××==XP.故所求的分布律为（2）{}{}{}{}{}220219312105.2)5.2(==−==+=+==≤=XPXPXPXPXPF或：由{}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤=12202192221430)(xXPxF33221100≥≤≤≤xxxxx，得220219)5.2(=F（3）由103)(30==∑=kkkpXE，229)(3022==∑=kkpkXE得[]1100351)()()(22=−=XEXEXD四、由)1(~EX知⎩⎨⎧=−,0,)(xXexf其他0xX0123kP4344922092201又{}{}yXPyYPyFY≤=≤=2)(，故当0≤y时：0)(0)(=⇒=yfyFYY当0y时：{})()()(yFyFyXyPyFXXY−−=≤≤−=[])()(21)()(yfyfyyFyfXXYY−+=′=⇒yey−=21即⎪⎩⎪⎨⎧≤=−.0,0,0,21)(yyeyyfyY五、由题知其他10,0,2),(⎩⎨⎧=xyyxf则∫∫+∞∞−⎪⎩⎪⎨⎧===.,0,10,22),()(0其他xXxxdydyyxfxf∫∫+∞∞−⎪⎩⎪⎨⎧−===.,0,10),1(22),()(1其他yYyydxdxyxfyf因此3222)(21010==⋅=∫∫dxxxdxxXE，31)22()1(2)(21010=−=−⋅=∫∫dyyydyyyYE，41)2(),()(010===∫∫∫∫+∞−∞+∞−∞dxydyxdxdyyxxyfXYEx.361)()()(),(=−=YEXEXYEYXCov314341)1(22}5.0{}5.0,5.0{}5.0|5.0{2102100==−=≤≤≤=≤≤∫∫∫dyydydxYPYXPYXPx六、设至少需要安装n条外线，X表示需要使用外线通话的电话数，则)04.0,260(~BX.故4.10)(=XE，984.9)(=XD.由中心极限定理有{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤−=≤984.94.10984.94.10nXPnXP95.0)984.94.10(≥−Φ≈n查表知59.0)1.645(=Φ，则16645.1984.94.10≥⇒≥−nn即该单位总机至少要安装16条外线，才能以%95以上的概率保证每部电话需要使用外线通话时可以打通.七、由题有θθθθθθθ−=⋅=⋅⋅=−+∞+−+∞∫∫111)(11)11(1cdxxcdxxcxXEcc令XXnXEnii==∑=11)(，得θ的矩估计量为Xc−=1ˆθ.似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=⎪⎩⎪⎨⎧⋅==+−=−=+−=∏∏∏.0),,,2,1(,)(.,0,,1)()()11(11)11(11其他，其他nicxxccxxcxfLiniinnniiinii⋯θθθθθθθ)ln)(11(lnln)(ln1∑=+−−=niixncnLθθθθ.似然方程为01)ln(ln)(ln122=⋅+−−=∑=niixncndLdθθθθθ解得θ的极大似然估计值为cxnniilnln1ˆ1−=∑=θ.八、要检验的假设为950:00==µµH01:µµH；检验统计量为)1,0(~0NnXUσµ−=；拒绝域为αuu−≤；计算统计值得928=x，6.6910950928950−=−=−=nxuσ；查表知645.105.0==uuα；执行统计判决αuu−=−−=645.16.6，故拒绝0H，即认为这批枪弹的平均初速度显著降低.九....引入.,,0,1层不停电梯在第层停电梯在第iiXi⎩⎨⎧=)n,,2,1(⋯=i.则∑==n1iiXX，)p,1(~BXi，且rinXPp)11(1}1{−−===rinpXE)11(1)(−−==，)n,,2,1(⋯=i.因此])11(1[)()(1rininnXEXE−−==∑=