概率论与数理统计卷一(附答案)

概率论与数理统计试卷一．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设事件A和B的概率为12(),()23PAPB则()PAB可能为（D）(A)0;(B)1;(C)0.6;(D)1/62.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（D）(A)12;(B)225;(C)425;(D)以上都不对3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（A）(A)518;(B)13;(C)12;(D)以上都不对4．某一随机变量的分布函数为()3xxabeFxe，(a=0,b=1)则F(0)的值为（C）(A)0.1;(B)0.5;(C)0.25;(D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（C）(A)2.5;(B)3.5;(C)3.8;(D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.7,则()PAB=_0.85_.2．设随机变量~(,),()3,()1.2BnpED，则n=______.3．随机变量ξ的期望为()5E，标准差为()2，则2()E=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22afxxx，a为常数，则P(ξ≥0)=_______.三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1)4个球全在一个盒子里;(2)恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为,03()10,x0x3Axfxx当≤≤当或(1)求常数A;(2)求P(ξ1)；(3)求ξ的数学期望.五．(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η＝1η=2η＝4η＝5ξ＝00.050.120.150.07ξ＝10.030.100.080.11ξ＝20.070.010.110.10(1)ξ与η是否相互独立?(2)求的分布及()E；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分)某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元.若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止.若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90,(1.65)0.95)九．(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明AB与C相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度2~(,)N.估计10，求总体温度真值μ的0.95的置信区间.(注：(1.96)0.975,(1.65)0.95)解：1(18201834183118161824)18255-------------------2分已知10.95,0.05，0.02521.96uu---------------------------5分10，n=5,0.0252101.96108.7755uun-------------------8分所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23,1833.77]（单位：℃）-------10分解答与评分标准一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）二．1．0.85、2.n=5、3.2()E=29、4.0.94、5.3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2)5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415CC种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(BP--------------------------------------------------10分四．解：（1）304ln1,4ln1)(AAdxxAdxxf---------------------3分（2）10212ln1)1(AdxxAP-------------------------------6分（3）3300()()[ln(1)]1AxExfxdxdxAxxx13(3ln4)1ln4ln4------------------------------------10分五．解：（1）ξ的边缘分布为29.032.039.0210--------------------------------2分η的边缘分布为28.034.023.015.05421---------------------------4分因)1()0(05.0)1,0(PPP,故ξ与η不相互独立-------5分（2）的分布列为01245810P0.390.030.170.090.110.110.10因此，16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(E-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1);P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1);P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(PPPPPP但10.012.003.005.0，故ξ与η不相互独立。六．解：由全概率公式及Bayes公式P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分七．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。于是P(A1)=0.3;P(A2)=0.7×0.3=0.21;P(A3)=0.72×0.3=0.147P(A4)=0.73×0.3=0.1029;P(A0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。-------------------------------------------------------------------------------------------8分因此，65.26)140(2401.0601029.070147.08021.0903.0)(E--------------------12分八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p),p=0.95.因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq)------------4分由条件有2000(2000)1()0.95npPnpq-------------------------------------------8分因(1.65)0.95，故2001.65npnpq，解得n=2123,即至少要购买2123个零件.-------------------------------------------------------------12分九．证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(AB)=P(A)P(B),P(ABC)=P(A)P(B)P(C).(())()()()()PABCPACBCPACPBCPABC------2分()()()()()()()PAPCPBPCPAPBPC---------------------------4分[()()()()]()()()PAPBPAPBPCPABPC故AB与C相互独立.-------------------------------------------------------6分