7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题

用辽大教辅考名牌大学第三讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．会求在线性约束条件下一些简单的目标函数的最值．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应通过实例，理解概念，理顺关系，掌握方法，学会应用．在2011年高考中，山东卷第7题、安徽卷第6题、广东卷第6题、天津卷第2题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)二元一次不等式组的平面区域表示；(2)用图解法解决简单的线性规划问题.一般地，若Ax＋By＋C＞0，则当B＞0，A0时表示直线Ax＋By＋C＝0________的平面区域；当B＜0，A0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的________．若Ax＋By＋C＜0，与上述情况相反．上方下方(x1，y1)与M2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的同侧的充要条件是什么？位于直线两侧的充要条件又是什么？【答案】点M1与M2位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)＞0，位于直线两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)＜0.．线性规划(1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是______________________，则约束条件又称为线性约束条件；(2)线性规划：求线性目标函数在_________________________________的问题，统称为线性规划问题；(3)可行域：__________________________叫做可行解，__________________________叫做可行域；(4)最优解：分别使目标函数取得__________________的解，叫做这个问题的最优解．关于x、y的一次不等式线性约束条件下的最大值或最小值满足线性约束条件的解(x，y)由所有可行解组成的集合最大值和最小值可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？【答案】最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．．用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)．．关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明：(1)二元一次不等式(组)表示的平面区域：在平面直角坐标系中，平面内的所有点都被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：第一类：在直线Ax＋By＋C＝0上的点；第二类：在直线Ax＋By＋C＝0上方区域内的点；第三类：在直线Ax＋By＋C＝0下方区域内的点．(2)Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界；Ax＋By＋C≥0表示的是直线Ax＋By＋C＝0及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界．用辽大教辅考名牌大学(3)画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法；特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．(4)画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面点集的交集，即它们的平面区域的公共部分．(5)在直线l：Ax＋By＋C＝0外任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]如下图，△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．【分析】首先写出△ABC三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组．用辽大教辅考名牌大学【解析】解法1：由两点式得AB、BC、CA直线方程并化简为：AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0；CA：2x＋y－5＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x＋2y－1≥0，x－y＋2≥0，2x＋y－5≤0.：由AB的方程及三角形区域在AB上方，根据“同号在上”原则，得不等式x＋2y－1≥0.由BC的方程及三角形区域在BC下方，根据“异号在下”原则，得不等式x－y＋2≥0.同理得2x＋y－5≤0，从而得不等式组．【点评】判断二元一次不等式表示的平面区域可直接利用上述“同号在上，异号在下”的结论直接判断.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]画出不等式组x－2y＋1＞0，x＋2y＋1≥0，1＜|x－2|≤3表示的平面区域．用辽大教辅考名牌大学【答案】不等式x－2y＋1＞0表示直线x－2y＋1＝0右下方的点的集合；不等式x＋2y＋1≥0表示直线x＋2y＋1＝0上及其右上方的点的集合；不等式1＜|x－2|≤3，可化为－1≤x＜1或3＜x≤5，它表示夹在两平行线x＝－1和x＝1之间或在两平行线x＝3和x＝5之间的带状区域，但不包括直线x＝1和x＝3上的点．用辽大教辅考名牌大学所以，原不等式表示的区域如图所示．求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：(1)作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.(2)平移：将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．(3)求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值．．如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．3．求目标函数z＝ax＋by的最值，要把z与直线y＝－abx＋zb的截距联系起来去理解．．线性规划问题是一种重要的题型，在高考中也是一个热点题型，根据问题中目标函数的形式，主要包括以下几种类型：(1)线性目标函数；(2)非线性目标函数(距离模型、斜率模型)；(3)与向量综合的目标函数．解决这些问题的核心思想方法是数形结合，即根据目标函数的特点，将问题转化为截距、斜率、距离等问题加以解决．5．若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用调整优值法去寻求最优解．．随着对线性规划问题研究的不断深入，出现了一些线性规划的逆向性问题，即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中所含参数的取值范围问题，这类问题频繁地出现在各种考试题中，是热点内容，也是高考的重点题型．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]已知x，y满足3x＋8y＋15≥0，5x＋3y－6≤0，2x－5y＋10≥0，则z＝x－y的取值范围是________．用辽大教辅考名牌大学【解析】先画出约束条件的可行域，如图所示，由3x＋8y＋15＝0，5x＋3y－6＝0，得B(3，－3)，由3x＋8y＋15＝0，2x－5y＋10＝0，得A(－5,0)．用辽大教辅考名牌大学【点评】线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后)通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]设z＝2y－2x＋4，式中x、y满足条件0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1.求z的最大值和最小值．用辽大教辅考名牌大学【解析】作出满足不等式组0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1.的可行域(如图所示)．：2y－2x＝t，当l经过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；当l经过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]已知x，y满足条件4x＋2y－7≥0，x－2y＋2≥0，3x－y－4≤0，试求z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范围．用辽大教辅考名牌大学【解析】如图所示作出约束条件所表示的平面区域△ABC，(2,2)、B(1，32)、C(32，12)，因为x2＋y2＋2x＋4y＝x＋12＋y＋22－5，又因为方程Z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示的曲线为以点D(－1，－2)为圆心，半径为Z的圆，所以观察图，知当圆过A点时，Z取得最大值5.过D作DE垂直直线BC于E，易知kDE＝12，从而知直线DE的方程为x－2y－3＝0，用辽大教辅考名牌大学由x－2y－3＝0，4x＋2y－7＝0，⇒x＝2，y＝－12，即点E的坐标为(2，－12)，显然E在线段BC的延长线上，从而知当圆过点C时，Z取得最小值522，故z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范围为[302，25]．用辽大教辅考名牌大学【点评】利用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同学们对优化思想的形成是非常有益的.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习3]已知2x＋y－5≥03x－y－5≤0x－2y＋5≥0z＝(x＋1)2＋(y＋1)2在什么时候z取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？用辽大教辅考名牌大学【答