平面向量的坐标表示

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲复习，应联系实例，通过典例和适量训练，掌握解题的通性、通法．在2011年高考中，广东卷第3题、北京卷第11题、湖南卷第13题、天津卷第14题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)平面向量的坐标运算；(2)用平面向量坐标运算解决平行与共线问题.平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝________，由于a与数对________是一一对应的，因此把________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝________，其中________叫做a在x轴上的坐标，________叫做a在y轴上的坐标．x·i＋y·j(x，y)(x，y)(x，y)xy．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a＋b＝_______________；②a－b＝________________；③λa＝________(其中λ∈R)．④a∥b，则____________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x1y2－x2y1＝0＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能不能写成x1x2＝y1y2？【答案】不能．因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任取一个向量a，由平面向量的基本定理，有且仅有一对实数x，y使得a＝x·i＋y·j，(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，我们把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．其中i，j称为标准基底，也叫基本向量．显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．用辽大教辅考名牌大学(1)在直角坐标系内，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的坐标由a唯一确定．此时，点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．(2)点的坐标与向量的坐标要区别开来，相等向量对应坐标相同，但对应的有向线段的起点和终点却可以不同，如A(0,0)，B(1,1)．∴AB→＝(1,1)，若C(3,3)，D(4,4)，∴CD→＝(1,1)，∴AB→＝CD→，而A、B、C、D四点坐标不同．(3)两个向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等．用辽大教辅考名牌大学(4)通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对确定．反过来，任一有序实数对就表示一个向量，即一个向量就是一个有序实数对．(5)写法不同，点后面直接跟坐标，而向量等于坐标，如点P(x，y)，OP→＝(x，y)，a＝(x，y)．．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(1)即两向量的和(与差)等于这两个向量相应坐标的和(与差)．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．用辽大教辅考名牌大学(3)要明确向量的坐标与表示该向量的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．(4)向量可以用坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积的运算都可以用坐标来进行，使得向量运算完全代数化，将形与数紧密结合起来，使得许多几何问题可以转化为我们熟知的代数运算.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]已知a＝AB→，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．用辽大教辅考名牌大学【解析】先求AB→的坐标，再求A的坐标．a与b、c有关，用b、c的坐标表示a.∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)．∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)即a＝(－7,10)＝AB→.又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)．→＝(1－x,0－y)＝(－7,10)∴1－x＝－70－y＝10⇒x＝8y＝－10即A点坐标为(8，－10)．用辽大教辅考名牌大学【点评】通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1](1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→.求M、N的坐标和MN→.用辽大教辅考名牌大学【答案】(1)用待定系数法：由3×1－(－2)×(－2)≠0，故a与b不共线．可设c＝λ1a＋λ2b(其中λ1、λ2为待定的常数)．即(7，－4)＝λ1(3，－2)＋λ2(－2,1)＝(3λ1－2λ2，－2λ1＋λ2)∴3λ1－2λ2＝7－2λ1＋λ2＝－4⇒λ1＝1λ2＝－2∴c＝a－2b.用辽大教辅考名牌大学(2)∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．∴CM→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)．因此x＋3＝3，y＋4＝24，得x＝0，y＝20.∴M(0,20)．同理可得N(9,2)．∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18).＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0.则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式不同．4．凡遇到与共线(平行)向量相关的问题时，一般地要考虑用向量平行的充要条件．另外，在平面几何图形中的点的坐标、线段的长度、三点共线及平行等问题都要用到此定理.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴3＋4k－5＝2＋k2.∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－1613.用辽大教辅考名牌大学(2)d－c＝(x，y)－(4,1)＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，∵(d－c)∥(a＋b)，∴x－42＝y－14，即y－1＝2(x－4)．①又|d－c|＝1，∴x－42＋y－12＝1.②用辽大教辅考名牌大学把①代入②，得5(x－4)2＝1，∴x＝4±15.∴x＝4＋55，y＝255＋1或x＝4－55，y＝－255＋1.∴d＝(4＋55，255＋1)或d＝(4－55，－255＋1)．用辽大教辅考名牌大学【点评】向量引入坐标后，用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]已知a＝(2,3)，b＝(1,2)，若ka－b与a－kb平行，求实数k的值，并指出它们是同向还是反向？用辽大教辅考名牌大学【解析】∵a＝(2,3)，b＝(1,2)∴ka－b＝(2k－1,3k－2)．a－kb＝(2－k,3－2k)又ka－b与a－kb平行∴(2k－1)(3－2k)－(3k－2)(2－k)＝0解得k＝±1.当k＝1时，ka－b＝a－kb，这两个向量方向相同；当k＝－1时，ka－b＝－(a－kb)，这两个向量方向相反．用辽大教辅考名牌大学考场实录【例】已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，点P在第三象限，求λ的取值范围．用辽大教辅考名牌大学【错解】用辽大教辅考名牌大学正解【正解】设P(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．又因为AP→＝AB→＋λAC→＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，用辽大教辅考名牌大学即x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，解得x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.因为点P在第三象限，所以5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，解得λ＜－1.用辽大教辅考名牌大学【错因分析】本题错误地把AP→的坐标当作点P的坐标，实质上是对向量的坐标表示的概念理解不清.用辽大教辅考名牌大学学习本讲知识还需注意：1.向量共线的坐标表示不要与后面向量垂直的坐标表示混淆．2.向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等．同时，应注意二者的表达形式的区别，如点的坐标表示必须写成A(x，y)，而不能写成A＝(x，y)；向量的坐标表示必须是a＝(x，y)，而不能是a(x，y)．两向量相等的充要条件是它们对应