平面向量的坐标运算及共线坐标表示(用)

2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示不共线的平面向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.向量的基底:21,ee如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2使得平面向量基本定理:21,eea2211eea复习回顾ABCDoxyija平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？探究：如何计算？（1）已知=(x1,y1),=(x2,y2)，求+,–.（2）已知=(x1,y1)和实数，求的坐标.abaaabab),(),(),(),(),,(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：向量的坐标运算说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。(2,1),(3,4),,,34abababab练习，已知求的坐标。(2,1)(3,4)15(2,1)(3,4)53343(2,1)4(3,4)619ababab解：（，）（，）（，）例1.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐标.AB解：ABOBOA=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。例2.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段AB中点的坐标。解：设M(x,y)是线段AB的中点，则1()2OMOAOB11221(,)[(,)(,)]2xyxyxy1212,22xxyyxy例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。例3.已知□ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标。解：ODOAADOABCOAOCOB=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D点的坐标是(2,2).Oxy11D(x,y)C(3,4)A(-2,1)A(-1,3)练习1.设向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量,设起始P(－10,10),则5秒钟后点P的坐标为().(4,3)v解：5秒种后，P点坐标为(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).3.设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足(1)λ为何值时,点P在直线y=x上?(2)设点P在第三象限,求λ的范围.APABAC解:(1)设P(x,y)，则(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),所以x=5λ+5，y=7λ+4.21解得λ=(2)由已知5λ+50,7λ+40,所以λ－1.2.如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?会得到什么样的重要结论?1.向量与非零向量平行(共线)的等价条件是有且只有一个实数,使得abba设即中,至少有一个不为0,则由得),,(11yxa),(22yxbba0,b22,yx01221yxyx01221yxyx这就是说:的等价条件是)0(//bbaa=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→3、其中≠,a→0→有且只有一个实数λ，使得a→b=λ→即：（x2,y2)=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)所以x2=λx1y2=λy1消去λ得：x1y2-x2y1=0a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→其中x1y2-x2y1=0a∥→b→a∥→b→(0)a平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的两种表示形式:x1y2-x2y1=0(2)ab(a0)a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→有且只有一个实数λ,使得a→b=λ→(1)ab(a0)例1已知a=（4，2）,b=（6，y）且a∥b，求y的值.解：∵a∥b∴4y-2×6=0解得y=3典型例题),,1(xa)2,(xb例2已知点A(1，3)，B(3，13)，C(6，28)求证：A、B、C三点共线.证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)BC=(6-3,28-13)=(3,15)∴2×25=5×10∴AB∥BC又∵直线AB、直线BC有公共点B∴A、B、C三点共线典型例题例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy解:(1)所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)xyOP1P2P例4:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2PxyOP1P2P.221153.22212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段，当点）如图（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐标是（即点32322121yyxxP直线l上两点p1、p2，在l上取不同于p1、p2的任一点P，则P点与p1p2的位置有哪几种情形？P在之间21PP1P2PPP在的延长线上，21PP1P2PPP在的延长线上.12PP1P2PP能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？0101存在一个实数λ，使，λ叫做点P分有向线段所成的比．21PPPP21PP设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？),(111yxP),(222yxP21PP),(111yyxxPP　　),(),(2211yyxxyyxx　　),(222yyxxPP21PPPP)()(2121yyyyxxxx　　112121yyyxxx112121yyyxxx有向线段的定比分点坐标公式21PP有向线段的中点坐标公式21PP222121yyyxxx(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；小结1212(,)xxyyab　　　1212(,)xxyyab　　　(,).xya12221212222.A(,),(,);xyBxyxxyyxy点的坐标点的坐标则线段AB的中点坐标(x,y)为:1、向量平行(共线)的两种形式:11221221(1)//(0);(2)//((,),(,),0)abbababaxybxybxyxy12122;2xxxyyy1112221212121212322332233.(,),(,);;xyxyxxyyxyxxyyxy点P的坐标点P的坐标则线段PP的三等分点坐标（x,y）为:或记公式：近水楼台多得月