【步步高】2012届高三数学大一轮复习-12.4离散型随机变量及其分布列课件

§12.4离散型随机变量及其分布列基础知识自主学习要点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫.随机变量离散型随机变量(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，具有性质：①pi0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的.1概率之和≥2．如果随机变量X的分布列为其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的.3．超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．X10Ppq两点分布[难点正本疑点清源]1．随机变量的本质(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果．(2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．2．离散型随机变量的分布列的作用对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．基础自测1．设随机变量X的分布列如下：X1234Pi161316p则p＝________.解析由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p＝13.132．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________.解析由分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝22a＝13.133．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为______________．解析η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为η012P141214答案η012P1412144．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是()A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点，故选D.D5．设随机变量X的概率分布列如表所示：X012Pa1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于()A.13B.16C.12D.56解析由分布列的性质知a＝12，F(x)＝P(X≤x)(x∈[1,2))＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝12＋13＝56.故选D.D题型分类深度剖析题型一离散型随机变量的分布列的性质例1若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c则常数c＝________.思维启迪利用pi≥0，所有概率之和为1，建立关系求解．解析由离散型随机变量分布列的性质可知：cccccc2293810910381－＋－＝－－，解得c＝13.答案13探究提高在含有未知数的概率分布列的问题中，要根据概率分布列的两个性质列出方程和不等式组成的混合组求解未知数．变式训练1设随机变量ξ的分布列Pξ＝k5＝ak(k＝1，2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求Pξ≥35；(3)求P110ξ710.解所给分布列为ξ152535451Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)Pξ≥35＝Pξ＝35＋Pξ＝45＋P(ξ＝1)＝315＋415＋515＝45.(或Pξ≥35＝1－Pξ≤25＝1－115＋215＝45)．(3)因为110ξ710，只有ξ＝15，25，35时满足，故P110ξ710＝Pξ＝15＋Pξ＝25＋Pξ＝35＝115＋215＋315＝25.题型二求离散型随机变量的分布列例2某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．思维启迪随机变量X服从超几何分布，可直接代入超几何分布的概率公式求解．解依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝Ck6C4－k4C410(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114，∴X的分布列为X01234P121043537821114探究提高对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．变式训练2一个盒子中装有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设X表示其中黑球的个数，求X的分布列．解X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C04C316C320＝2857；P(X＝1)＝C14C216C320＝819；P(X＝2)＝C24C116C320＝895；P(X＝3)＝C34C016C320＝1285.所以X的分布列为：X0123P28578198951285题型三利用随机变量的分布列求概率例3袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．思维启迪(1)是古典概型；(2)关键是确定X的所有可能取值；(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和．解(1)方法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.方法二“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为P(X＝2)＝C34C310＝130，P(X＝3)＝C12C24C310＋C22C14C310＝215，P(X＝4)＝C12C26C310＋C22C16C310＝310，P(X＝5)＝C12C28C310＋C22C18C310＝815.∴随机变量X的分布列为X2345P130215310815(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分～40分时，X的取值为3或4，所以所求概率为P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.探究提高在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布列上来，这样所求的概率就可由分布列中相应取值的概率累加得到．变式训练3为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点，(1)求这三人恰有两人消费额大于300元的概率；(2)求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；(3)设这三人中消费额大于300元的人数为X，求X的分布列；(4)求至少有两人的消费额大于300元的概率．200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2解(1)P1＝(0.3)2×0.6＋2×0.3×0.7×0.4＝0.222；(2)消费总额为1500元的概率是：0.1×0.1×0.2＝0.002；消费总额为1400元的概率是：(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，消费总额为1300元的概率是：(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033.所以消费总额大于或等于1300元的概率是P2＝0.045；(3)P(X＝0)＝0.7×0.7×0.6＝0.294，P(X＝1)＝0.3×0.7×0.6×2＋0.7×0.7×0.4＝0.448，P(X＝2)＝0.3×0.3×0.6＋0.3×0.7×0.4×2＝0.222，P(X＝3)＝0.3×0.3×0.4＝0.036.所以X的分布列为：(4)P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.222＋0.036＝0.258.所以至少有两人的消费额大于300元的概率为0.258.X0123P0.2940.4480.2220.036思想与方法20．方程思想在概率中的应用试题：(12分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球次数X的分布列及取球2次终止的概率；(3)求甲取到白球的概率．审题视角(1)知从袋中任取2个球都是白球的概率为17，求白球个数，可考虑列方程．(2)求X的分布列，首先确定X的所有可能值．(3)根据分布列求甲取到白球的概率．规范解答解(1)设袋中原有n个白球，由题意知：17＝C2nC27＝nn－127×62＝nn－17×6.所以n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．[3分](2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝37；P(X＝2)＝4×37×6＝27；P(X＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P(X＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P(X＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以，取球次数X的分布列为：[8分]所以取球2次终止的概率为27.[9分]X12345P3727635335135(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A，即P(A)＝P(“X＝1”或“X＝3”或“X＝5”)，因为事件“X＝1”、“X＝3”、“X＝5”两两互斥，所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝37＋635＋135＝2235.[12分]批阅笔记(1)根据概率，构建方程，从而求出白球个数，体现了方程思想的应用．(2)准确找出随机变量X的取值，明确每一个值所对应的概率，然后代入概率公式求得概率，是解决该类问题的一般步骤．其中，准确找出随机变量X的取值是解题的关键．(3)本题易错点一是不会列方程求解；二是X所有可能值确定不准；三是计算错误．所以要加强数学思想的渗透和计算能力的提高．思想方法感悟提高方法与技巧1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质