2012届高考数学二轮复习课件：专题9 数形结合 数学思想方法

•理解数形结合是高中数学的重要思想方法．会运用数形结合思想方法解决问题．•纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍．数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程．•数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中．在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题．它属于高考重点考查的内容，2012年的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以考查．•高考试题对数形结合的考查主要涉及：•(1)考查集合及其运算问题——韦恩图与数轴；•(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)；•(3)考查运用向量解决有关问题；•(4)考查三角函数图象及应用；•(5)数轴及直角坐标系的广泛应用；•(6)数学概念及数学表达式几何意义的应用；•(7)解析几何中的数形结合．•1．数形结合思想的含义•(1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．•这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．•(2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．•2．数形结合的途径•(1)通过坐标系“形”“题”“数”解•借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．•实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4.•(2)通过转化构造数题形解•许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通，将a≥b≥c0且b＋ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．•[例1](1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()•A．5B．7C．9D．10(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)•[答案](1)C(2)D•[解析](1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．•又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，•则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．•(2)∵f(x)为奇函数，•∴f(x)－f(－x)＝2f(x)•画出y＝2f(x)的大致图象．•如图，则f(x)与x异号的区间•如图阴影所示，•∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.•[评析](1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．•(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．•(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．•已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是()A．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)B．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3)[答案]B[解析]不等式f(x)cosx0等价于fx0，cosx0，或fx0，cosx0.画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)．[例2](2011·广东中山第三次检测)y＝f(x)＝3x＋6x≥－2－6－3xx－2，若不等式f(x)≥2x－m恒成立，则实数m的取值范围是________．[分析]作出y＝f(x)和y＝2x－m的图象，研究什么情况下，f(x)的图象总在y＝2x－m上方．•[解析]在平面直角坐标系中作出函数y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)的图象的下方，因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范围是[－4，＋∞)．•[评析]此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再求解即可．解不等式或证明不等式问题时经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择恰当的两个(或多个)函数，利用函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式．•[答案]D(2011·新课标理，12)函数y＝11－x的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8•[解析]依题意：两函数的图象如图所示：•由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D.[例3](2011·哈尔滨二模)若实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)b－2a－1的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．[分析]可将b－2a－1看作点(a，b)和(1,2)连线的斜率，而(a－1)2＋(b－2)2表示点(a，b)与定点(1,2)之间的距离的平方[解析]方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组f00，f10，f20.⇒b0，a＋2b＋10，a＋b＋20.由a＋2b＋1＝0，a＋b＋2＝0.解得A(－3,1)．由a＋b＋2＝0，b＝0.解得B(－2,0)，由a＋2b＋1＝0b＝0.解得C(－1,0)．•∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．(1)△ABC的面积为S△ABC＝12×|BC|×h＝12(h为A到Oa轴的距离)．(2)b－2a－1几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率．∵kAD＝2－11＋3＝14，kCD＝2－01＋1＝1，由图可知kADb－2a－1kCD，∴14b－2a－11，即b－2a－1∈(14，1)．•(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，•∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17)．•[评析]此题所用思想方法是典型的数形结合法，理解所求式子的几何意义，将代数问题成功地转化为几何问题是关键．已知实数x、y满足不等式组x2＋y2≤4，x≥0，(1)求函数z＝y＋3x＋1的值域；(2)求w＝x＋12＋y＋32的最值．[解析]由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)，z＝y＋3x＋1可改写为y＋3＝z(x＋1)，把z看作参数，则此方程表示过定点P(－1，－3)，斜率为z的直线系．(1)所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，zmax＝2－－30－－1＝5.过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B(a，b)，则过B点的切线方程为ax＋by＝4，又B在半圆周上，P在切线上，则有a2＋b2＝4－a－3b＝4又a0，解得a＝－2＋365，b＝－6－65，因此zmin＝26－33.综上可知函数的值域为26－33，5.(2)所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点到P(－1，－3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知wmax＝|PO|＋r＝10＋2，wmin＝12＋－2＋32＝2，即最大值为10＋2，最小值为2.[例4]已知x，y满足x216＋y225＝1，求y－3x的最大值和最小值．[解析]令y－3x＝b，则y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆x216＋y225＝1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距．由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆x216＋y225＝1相切时，有最大或最小的截距．将y＝3x＋b代入x216＋y225＝1，得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，令Δ＝0，解得b＝±13.故y－3x的最大值为13，最小值为－13.•设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，求P点的坐标．[解析]解法一：设P点坐标为(x0，x20)，由点到直线的距离公式得：d＝|2x0－x20－4|5＝55|x20－2x0＋4|＝55|(x0－1)2＋3|≥355，由上式可知，当x0＝1时，dmin＝355.∴点P的坐标为(1,1)．•解法二：如图平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．•设P(x0，y0)，∵y′＝2x，•∴过P点的切线斜率•k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.•∴x0＝1，y0＝x＝1.•故P点坐标为(1,1)．