相似三角形判定复习(一)

复习（一）定理1：两角对应相等，两三角形相似。定理3：三组边的比相等，两三角形相似。∠A=∠A'∠B=∠B'△ABC∽△A'B'C'A'C'CAC'B'BCB'A'AB△ABC∽△A'B'C'定理2：两组边的比相等且夹角相等，两三角形相似。△ABC∽△A'B'C'''''ABABBCBC∠B=∠B'A'C'B'ABC一、相似三角形的判定定理：直角三角形相似的判定:B'C'ABCA'直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。''ABABA'C'AC=∠C=∠C'=90oRt△ABC∽Rt△A'B'C'解：(1)∵∠A＝∠A∴当∠ACP＝∠B时,△ACP∽△ABC.(2)∵∠A＝∠A∴当AC:AP=AB:AC时，△ACP∽△ABC.例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP，(1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?(2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?APBC二、例题欣赏答：当∠1=∠ACB或∠2=∠B或AC:AP＝AB:AC,△ACP∽△ABC.解:⑴∵∠A=∠A，∴当∠1=∠ACB(或∠2=∠B)时,△ACP∽△ABC.如果将题目变为：已知:如图,△ABC中,P是AB边上的一点,连结CP．满足什么条件时,△ACP∽△ABC．APBC12⑵∵∠A=∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，△ACP∽△ABC.一.填空选择题:1.(1)△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，从而(2)△ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，则△AED与△ABC的相似比为______.ACAD()=DEBC1:2ABCDEABCDE2.如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.3.已知三角形甲各边的比为3:4:6,和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.2:552cmABCDEABCD5.如图，△ADE∽△ACB,DE:BC=___6.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC1:3DDACBABCDE33277.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。4ABEDC解:∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠EDC=∠DCB=∠A①∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC②∵∠A=∠DCB,∠ADE=∠B∴△ADE∽△CBD③∵△ADE∽△ABC△ADE∽△CBD∴△ABC∽△CBD④∵∠DCA=∠DCE,∠A=∠EDC∴△ADC∽△DEC二、证明题：1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D,连AM.求证：①△MAD∽△MEA②AM2=MD·ME3.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.ABCDACDEMABCDEFOB4.过□ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EF·EG.5.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高.求证：△ADE∽△ABC（用两种方法证明）.6.已知在△ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证:AB:AC=DF:AF.ABCDEFGABCDEADEFBC解:∵∠AED=∠B,∠A=∠A∴△AED∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）∴ADAC=DEBC1.(1)△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，从而AD()=DEBCABCDE解:∵D、E分别为AB、AC的中点∴DE∥BC，且∴△ADE∽△ABC即△ADE与△ABC的相似比为1:2ADAB=AEAC=12(2)△ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，则△ADE与△ABC的相似比为______ABCDE2.解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵AD:DB=2:3∴DB:AD=3:2∴(DB+AD):AD=(2+3):3即AB:AD=5:2∴AD:AB=2:5即△ADE与△ABC的相似比为2:5如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.ABCDE3.已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.解:设三角形甲为△ABC，三角形乙为△DEF，且△DEF的最大边为DE，最短边为EF∵△DEF∽△ABC∴DE:EF=6:3即10:EF=6:3∴EF=5cmDEFABC4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.解:∵△ABC∽△BDC∴即∴DC=2cm186=6DCACBC=BCDCABCD5.ABCDE3327AEAB=ADAC=13解:∵△ADE∽△ACB且∴如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。DEBC=AEAB=137.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。4ABEDC解:∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠EDC=∠DCB=∠A①∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC②∵∠A=∠DCB,∠ADE=∠B∴△ADE∽△CBD③∵△ADE∽△ABC△ADE∽△CBD∴△ABC∽△CBD④∵∠DCA=∠DCE,∠A=∠EDC∴△ADC∽△DEC1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB分析:要证明AC2=AD·AB，需要先将乘积式改写为比例式，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。ACAD=ABAC证明:∵∠ACD=∠ABC∠A=∠A∴△ABC△ACD∴∴AC2=AD·ABACAD=ABACABCD2.△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD∽△MEA②AM2=MD·ME分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△MAD与△MEA的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：①∵∠BAC=90°M为斜边BC中点∴AM=BM=BC/2∴∠B=∠MAD又∵∠B+∠BDM=90°∠E+∠ADE=90°∠BDM=∠ADE∴∠B=∠E∴∠MAD=∠E又∵∠DMA=∠AME∴△MAD∽△MEA②∵△MAD∽△MEA∴即AM2=MD·MEAMMD=MEAMACDEMB3.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.分析：欲证ED2=EO·EC，即证：，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。证明：∵AB∥CD∴∠C=∠A∵AO=OB，DF=FB∴∠A=∠B，∠B=∠FDB∴∠C=∠FDB又∵∠DEO=∠DEC∴△EDC∽△EOD∴，即ED2=EO·ECEDEO=ECEDEDEO=ECEDABCDEFO4.过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EF·EG.分析：要证明EA2=EF·EG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB，△AEB∽△GED.EAEG=EFEA证明：∵AD∥BFAB∥BC∴△AED∽△FEB△AEB∽△GED∴∴EAEG=ABDGEFEA=BEED=ABDGEAEG=EFEAABCDEFG5.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高.求证：△ADE∽△ABC（用两种方法证明）.证明一：∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°∴∠ABD=∠ACE又∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACE∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABCADAE=ABAC证明二：∵∠BEO=∠CDO∠BOE=∠COD∴△BOE∽△COD∴即又∵∠BOC=∠EOD∴△BOC∽△EOD∴∠1=∠2∵∠1+∠BCD=90°，∠2+∠3=∠90°∴∠BCD=∠3又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABCODOEOCOBODOCOEOB1O23ABCDE17.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。4ABEDC解:∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠EDC=∠DCB=∠A①∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC②∵∠A=∠DCB,∠ADE=∠B∴△ADE∽△CBD③∵△ADE∽△ABC△ADE∽△CBD∴△ABC∽△CBD④∵∠DCA=∠DCE,∠A=∠EDC∴△ADC∽△DEC6.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证:AB:AC=DF:AF.分析：因△ABC∽△ABD，所以，要证即证，需证△BDF∽△DAF.AFDFACABADBDACABAFDFADBD证明：∵∠BAC=90°AD⊥BC∴∠ABC+∠C=90°∠ABC+∠BAD=90°∴∠BAD=∠C∵∠ADC=90°E是AC的中点，∴ED=EC∴∠EDC=∠C∵∠EDC=∠BDFAFDFADBD∴∠BDF=∠C=∠BAD又∵∠F=∠F∴△BDF∽△DAF.∴∵∠BAC=90°，AD⊥BC∴△ABC∽△ABD∴∴ADBDACABAFDFACABADEFBC