高等数学函数与极限

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入放映R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第,,,,21nXXX1二、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3数列的性质•由于数列的定义域是离散的自然数集，因此，奇偶性和周期性对于数列来说是没有意义的。•仅限于讨论有界性和单调性。数列的有界性•1.数列有界：•2.数列有上界：•3.数列有下界：naMaNnMn有使得,,0*nanaMaNnRMn有使得,,*MaNnRMn有使得,,*数列有界既有上界又有下界nana例如：是无界的。是有界的。nnnn,2-1,11单调性略（见书27页）三、数列的极限•考查数列,1,,43,32,21:1.1nnnn,21,,21,21,21:21.232nn,0,1,0:211.3n,43,34,21,2:11.41nn问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn,1,,43,32,21:1.1nnnn,21,,21,21,21:21.232nn,0,1,0:211.3n,43,34,21,2:11.41nn10.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放放映通过上面演示实验的观察:.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn无限接近。与常数无限增大时，当的直观描述：极限为数列AanAann问题：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它..})1(1{1为例以数列nn1nxnnn11)1(1,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx,1N定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N。才能确定）：相对固定：由（）：任意性（的双重性：的说明：和关于NN21.1在即可。的取值不唯一，只需存）（确定，有时记作由）（关于NNNN21.2x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.但是给出了论证数列极限为a的方法，通常称为论证法。naN语言叙述结论。再用取倒推，推出。由求。）（步骤：NNnaaNn-.)3(.)2(01例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn无穷大数列•观察：nnnn21.3.22.12GaNnNGaannnn时，有当为正无穷大数列：,,0limGaNnNGaannnn时，有当为负无穷大数列：,,0lim-GaNnNGaannnn时，有当为无穷大数列：,,0limnnnnnnn21limlim2lim2即：四、数列极限的性质1.有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.例5.)1(1是发散的证明数列nnx证,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nx五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.思考题指出下列证明1limnnn中的错误。证明要使,1nn只要使)1ln(ln1nn从而由2ln)1ln(ln)1ln(1nn得,0取1)1ln(2lnN当时，必有成立Nn10nn1limnnn思考题解答1nn)1ln(ln1nn~（等价）证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1nn实际上就是不等式)1ln(ln2lnnnn即证明中没有采用“适当放大”的值nnln从而时，2ln)1ln(Nn仅有成立，)1ln(2lnn但不是的充分条件．)1ln(lnnn反而缩小为n2ln一、利用数列极限的定义证明:1、231213limnnn；2、19....999.0limn二、设数列nx有界，又0limnny，证明：0limnnnyx.练习题精品课件！精品课件！