中考复习专题 相似三角形综合复习.公开课.2015

专题相似三角形的综合应用一、相似三角形与圆的知识的综合例1：如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P,求证：PC2=PA▪AB.（2014•陕西）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求AC的长．一、相似三角形与圆的知识的综合二、相似三角形与四边形知识的综合如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x和y的值。H三、相似三角形的存在性问题例3(2014年东营)如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D(3,﹣4).（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上,是否存在疑点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.BOCMON6(1)由题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠QPE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A＝∠Q＝90°，又∵PD＝PE，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1.(2)∵△PFD∽△BFP，∴PBBF＝PDPF，∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF，∴PDPF＝APBF，∴APBF＝PBBF，∴PA＝PB，∴PA＝12AB＝12，∴当PA＝12时，△PFD∽△BFP.(2014•柳州)如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．巩固提高：二、相似三角形与四边形知识的综合变式3.(2014·泰安)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.(1)求证：ABAE＝ACAD；(2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．解：(1)∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴ABAE＝ACAB，又∵AB＝AD，∴ABAE＝ACAD(2)设AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴EC＝2x，由(1)得：AB2＝AE·AC，∴AB＝3x，又∵BA⊥AC，∴BC＝23x，∴∠ACB＝30°，∵F是BC中点，∴BF＝3x，∴BF＝AB＝AD，又∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABD，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形ABFD是菱形．变式2.如图，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)若AD＝1，DE＝3，求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴AB︵＝AC︵.∴∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB(2)∵△ABD∽△AEB，∴ABAE＝ADAB，∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1×4＝4，∴AB＝2，∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝525．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．