2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 配套动漫课件 第五节 导数及其应用

第一阶段专题一知识载体能力形成创新意识配套课时作业考点一考点二考点三考点四第五节返回返回返回返回1．牢记四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a0)；(4)(logax)′＝1xlna(a0，且a≠1)．返回2．把握三个概念(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，极大值与极小值统称为极值．(3)将函数y＝f(x)在(a，b)内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．返回3．会用积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx；②∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx.③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中acb)．(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．返回返回本知识点常考查的内容有：求过某点切线的斜率、方程、切点坐标，或以切线的平行、垂直为载体求参数的值．试题多以选择和填空题的形式出现，有时也作为解答题的条件或某一问的形式进行考查．[考情分析]返回[例1]若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于()A．－2B．－1C．1D．2[思路点拨]利用导数的几何意义求得切线的斜率，再利用垂直关系求解．返回[解析]f′(x)＝sinx＋xcosx，f′π2＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在点x＝π2处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a＝2.[答案]D返回[类题通法]求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．返回解析：选∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.[冲关集训]1．(2012·四川成都石室中学高三诊断)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－14B．2C．4D．－12C返回2．(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y′＝3lnx＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－3返回3．过点(1,0)作曲线y＝ex的切线，则切线方程为________．答案：e2x－y－e2＝0解析：设切点为P(x0，)，则切线斜率为，切线方程为y－＝(x－x0)，又切线经过点(1,0)，所以－＝(1－x0)，解得x0＝2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0.0xe0xe0xe0xe0xe0xe返回用导数研究函数的单调性是历年高考必考内容，尤其是含参函数的单调性的研究成为高考命题的热点，在选择题或填空题中主要考查由函数的单调性求解参数的取值范围，在解答题中以求解函数的单调区间为主，结合含参不等式的求解等问题，主要考查分类讨论的数学思想，试题有一定的难度．[考情分析]返回[例2]已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．[思路点拨](1)求出函数的导数，令x＝23，解方程即可；(2)在a值确定的情况下，解导数的不等式即可得到其单调区间；(3)即函数的导数在区间[－3,2]上大于或者等于零恒成立．返回[解](1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.则a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解之，得a＝－1.(2)因为f(x)＝x3－x2－x＋c，从而f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，由f′(x)0得x－13或x1，由f(x)0得－13x1，所以f(x)的单调递增区间是－∞，－13和[1，＋∞)，f(x)的单调递减区间是－13，1.返回(3)函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，等价于h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立，由于函数h(x)的图像的对称轴方程是x＝－32，因此只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．返回[类题通法]利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知函数的单调性、求参数，只需转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解．解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．返回解析：选函数y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1x＋1x，令y′≤0，则可得0x≤1.[冲关集训]4．(2012·辽宁高考)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)B返回5．已知函数f(x)＝x－12ax2－ln(1＋x)，其中a0.(1)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)f′(x)＝x1－a－axx＋1，x∈(－1，＋∞)．依题意，得f′(2)＝0，解得a＝13.经检验，a＝13时，符合题意．故a＝13.返回(2)令f′(x)＝0，得x1＝0或x2＝1a－1.当0a1时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘f(x1)↗f(x2)↘所以，f(x)的单调递增区间是0，1a－1，单调递减区间是(－1,0)和1a－1，＋∞.当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)．返回当a1时，－1x20，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘f(x2)↗f(x1)↘所以，f(x)的单调递增区间是1a－1，0，单调递减区间是－1，1a－1和(0，＋∞)．返回综上，当0a1时，f(x)的单调递增区间是0，1a－1，单调递减区间是(－1,0)和1a－1，＋∞；当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a1时，f(x)的单调递增区间是1a－1，0，单调递减区间是－1，1a－1和(0，＋∞)．返回该类型题目近几年高考主要考查以下内容：求给定函数的最大值、最小值与极值问题；已知给定函数的最大值、最小值、极值，求函数中参数的取值范围问题．命题时常与函数的其他性质相结合，选择题、填空题一般为中低档难度，解答题多属中高档题．[考情分析]返回[例3](2012·西城模拟)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)[思路点拨](1)先求f′(x)的零点，根据零点左、右的单调性确定极值．(2)对(1)中所求出的极值点，讨论极值点是否在区间[1，e]上，进而确定区间[1，e]上g(x)的单调性，从而得出最小值．返回[解](1)f′(x)＝lnx＋1，x0，由f′(x)＝0得x＝1e，所以，f(x)在区间0，1e上单调递减，在区间1e，＋∞上单调递增．所以，x＝1e是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．返回(2)g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－a，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以，在区间0，ea－1上，g(x)为减函数，在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)为增函数，所以x＝ea－1是极小值点．返回以下对极小值点是否在[1，e]上作分类讨论．当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1ea－1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea－1)＝a－ea－1.当ea－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为减函数，g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.返回[类题通法](1)利用导数研究函数极值的一般步骤：①确定定义域；②求导数f′(x)；③a.若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左右两侧值的符号，求出极值；(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；b.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．返回[冲关集训]6．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．D返回7．(2012·重庆高考)设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，故f′(x)＝ax－12x2＋32.返回由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2返回＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(因x2＝－13不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x