2013年高考数学(理)二轮复习 专题三 配套动漫课件 第二节 数列的综合应用

第一阶段专题三知识载体能力形成创新意识配套课时作业考点一考点二考点三第二节返回返回返回返回活用数列求和的四种方法(1)公式法适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意公比q是否能取1.(2)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．返回(3)裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1anan＋1的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1.(4)分组求和法一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法．返回返回[考情分析]数列的求和是高考重点考查的内容，求和的关键是分析其通项，但在高考解答题中通项大多是未知的，求解通项的过程中也会考查到已知递推关系求通项，这就需要考生有较强的转化与化归能力．这部分在高考中既有以选择题、填空题的形式简单考查，也有以解答题的形式重点考查的情况出现．预测2013年的高考错位相减法、裂项相消法仍是重点．返回[例1](2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．[思路点拨](1)由已知条件列出方程组，求出等差、等比数列的公差、公比，写出通项公式；(2)利用错位相减法求解数列的前n项和，再作比较证明．返回[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组2＋3d＋2q3＝27，8＋6d－2q3＝10，解得d＝3，q＝2.所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.(2)证明：由(1)得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②返回由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝6×1－2n1－2－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，所以，Tn－8＝an－1bn＋1，(n∈N*，n≥2)．返回[类题通法]在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．返回[冲关集训]1．(2012·福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0解析：选由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N.故S2012＝503×2＝1006.A返回2．(2012·豫东、豫北名校模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn＝nan－n(n－1)，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)·an－1－(n－1)(n－2)，∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)·(n－2)，即an－an－1＝2.∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，故an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*.返回(2)由(1)知bn＝2anan＋1＝22n－12n＋1＝12n－1－12n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.返回[考情分析]数列与函数的结合是高考的热点，命题时多以函数为载体考查数列的运算问题，或利用函数的性质研究数列的有关问题，试题多以解答题形式出现，属于中高档题．返回[例2]设函数f(x)＝xax＋2，方程x＝f(x)有唯一解，其中实数a为常数，f(x1)＝22013，f(xn)＝xn＋1(n∈N*)．(1)求f(x)的表达式；(2)求x2011的值．[思路点拨](1)由f(x)＝x可求a的值，从而得出f(x)．(2)由f(xn)＝xn＋1可推出1xn为等差数列，问题则可求解．返回[解](1)由x＝xax＋2，可得ax(x＋2)＝x(a≠0)，所以ax2＋(2a－1)x＝0，当且仅当a＝12时，方程x＝f(x)有唯一解．从而f(x)＝2xx＋2.(2)由已知f(xn)＝xn＋1，得2xnxn＋2＝xn＋1，所以1xn＋1＝12＋1xn，即1xn＋1－1xn＝12(n∈N*)，返回所以数列1xn是以1x1为首项，12为公差的等差数列．所以1xn＝1x1＋(n－1)×12＝n－1x1＋22x1，故xn＝2x1n－1x1＋2.因为f(x1)＝22013，所以2x1x1＋2＝22013，返回解得x1＝11006.所以xn＝2×11006n－1×11006＋2＝2n＋2011，故x2011＝22011＋2011＝12011.返回[类题通法]在解决函数与数列的综合问题的过程中，应该注意以下几个方面的问题：(1)数列是一类特殊的函数，它的图像是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．返回[冲关集训]3．已知曲线C：y＝1x(x0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()A．x1，x32，x2成等差数列B．x1，x32，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列返回解析：选由题意，B1，B2两点的坐标为x1，1x1，x2，1x2，所以直线B1B2的方程为：y＝－1x1x2(x－x1)＋1x1，令y＝0，得x＝x1＋x2，所以x3＝x1＋x2，因此，x1，x32，x2成等差数列．A返回4．在各项均为负数的数列{an}中，已知点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝23x的图像上，且a2·a5＝827.(1)求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝an＋n，求Sn.解：(1)证明：因为点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝23x的图像上，所以an＋1＝23an，即an＋1an＝23，故数列{an}是公比q＝23的等比数列．返回因为a2a5＝827，则a1q·a1q4＝827，即a21235＝233，由于数列{an}的各项均为负数，则a1＝－32，所以an＝－23n－2.(2)由(1)知，an＝－23n－2，bn＝－23n－2＋n，所以Sn＝3·23n－1＋n2＋n－92.返回[考情分析]数列的实际应用在高考中时有出现，常以解答题的形式进行考查，多以现实生活中的“增长率”“贷款”“成本降低”等问题为背景，在复习时，应引起重视．返回[例3](2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．返回[思路点拨](1)由第n年和第(n＋1)年的资金变化情况得出an与an＋1的递推关系；(2)由an＋1与an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解．[解](1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d，(2)由(1)得an＝32an－1－d＝3232an－2－d－d返回＝322an－2－32d－d…＝32n－1a1－d1＋32＋322＋…＋32n－2.整理得an＝32n－1(3000－d)－2d32n－1－1＝32n－1(3000－3d)＋2d.返回由题意，am＝4000，即(32)m－1(3000－3d)＋2d＝4000.解得d＝32m－2×100032m－1＝10003m－2m＋13m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为10003m－2m＋13m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．返回[类题通法]用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．返回[冲关集训]5．(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()A．5B．7C．9D．11解析：选年平均产量Snn＝Sn－0n－0，表示点(n，Sn)与原点连线的斜率，由图可知，(9，S9)与原点连线的斜率最大．C返回6．(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝766，a1＝1322，所以a5＝6766.答案：6766返回化解数列中的不等式高考对不等式的综合考查主要有三个方面，一个在函数导数的综合题中使用不等式讨论函数性质，一个是在解析几何中使用不等式确定直线与曲线的位置关系、解决范围最值等问题，再一个也是难度最大的一个，就是在数列中考查不等式．在数列中考查的不等式的主要类型为结合数列的通项与求和，然后证明不等式，探究不等关系，求最值等．解决数列中的不等式问题的方法是灵活的，但基本的思想是比较和放缩，解题的关键是对已知关系的变换，通过变换实现已知向求解目标的转化．返回[典例](2011·全国高考)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝k＝1nbk，证明：Sn1.[思路点拨](1)问是常见的考查整体代换思想的问题；(2)问涉及的类型为常见的求和方法问题，关键是化简的方法．返回[