2013年高考数学(理科)一轮复习课件第19讲：定积分及其应用举例

考纲要求考纲研读定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2．了解微积分基本定理的含义.1.定积分在物理中的应用就是变力所作的功．2．定积分在几何中的应用就是曲边梯形的面积为S.3.定积分的运算可以利用公式，也可以利用几何意义求解.1．定积分性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx.(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx.(3)acf(x)dx＋cbf(x)dx＝abf(x)dx(acb)．2．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上有定义的连续函数，f(x)是在[a，b]上可微，并且F′(x)＝f(x)，则abf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把F(b)－F(a)，记作F(x)|ba，即___________________________．baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)3．常见求定积分的公式(1)baxndx＝111bnaxn(n≠1)．(2)baCdx＝Cx|ba(C为常数)．(3)sinbaxdx＝－cosx|ba.(4)cosbaxdx＝sinx|ba.(5)1baxdx＝lnx|ba(ba0)．(6)ebaxdx＝ex|ba.(7)baaxdx＝axlnaba(a0且a≠1)．1．(2010年广东深圳第一次调研)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()A．π20(sinx－cosx)dxB．2π40(sinx－cosx)dxC．π20(cosx－sinx)dxD．2π40(cosx－sinx)dxD2．等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝304xdx，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12C3．若π20(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于()A．－1B．1C．－3D.3A解析：π20(sinx－acosxdx＝－cosx－asinxπ20＝－a＋1＝2，a＝－1.4．若1(a2x＋1)dx＝2，则a＝_____.15．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是______m.6.5考点1定积分的计算例1：①(2011年福建)10(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：10(ex+2x)dx=(ex+x2)＝e＋1－e0－0＝e.C②(2011届广东揭阳水平考试)定积分039－x2dx的值为()A．9πB．3πC.94πD.92π解析：由定积分的几何意义知039－x2dx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3围成的封闭图形的面积，故039－x2dx＝π·324＝94π，选C.C③21|1－x|dx＝____.解析：21|1－x|dx＝11(1－x)dx＋21(x－1)dx＝x－12x21－1＋12x2－x21＝2－0＋32－1＝52.52当被积函数是一个带有绝对值的函数，积分时必须把绝对值符号去掉，根据绝对值函数的定义，就要看看1－x在积分区间[－1,2]是否有变号(即由正变负或由负变正)的情况．如因为|1－x|＝1－xx≤1，x－1x1，即x＝1是使函数改变符号的点，因此利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和，即21|1－x|dx＝11(1－x)dx＋21(x－1)dx.【互动探究】1.241xdx等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2D解析：∵241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln22－ln2＝2ln2－ln2＝ln2.2．(2011年广东华附综合测试)02(2－|1－x|)dx＝___.3考点2定积分的应用求平面区域的面积例2：求在[0,2π]上，由x轴及正弦曲线y＝sinx围成的图形的面积．解析：作出y＝sinx在[0,2π]上的图象如图D8，y＝sinx与x轴交于0，π，2π，所求面积S＝ππsinxdx＋2ππsindxx＝(－cosx)|π0－(－cosx)|2ππ＝4.图D8利用定积分求平面图形的面积的严格按照作图、求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行．因为在[0，π]上，sinx≥0，其图象在x轴上方；在[0,2π]上，sinx≤0其图象在x轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积．【互动探究】3．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面图形的面积为____.1解析：S＝01(x2＋2－3x)dx＋12(3x－x2－2)dx＝1.考点3物理方面的应用例3：汽车以每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．解析：由题意，v0＝54(千米/时)＝15(米/秒)，∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令v(t)＝0得15－3t＝0，t＝5，即5秒时，汽车停车．∴汽车由刹车到停车所行驶的路程为s＝50v(t)dt＝50v(15－3t)dt＝15t－32t250＝37.5(米)＝0.0375(公里)．答：汽车走了0.0375公里．汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为v＝v(t)[v(t)≥0]，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在[a，b]时间内的路程s是曲边梯形(如图4－4－1的阴影部分)的面积，即路程s＝bav(t)dt；如果v(t)≤0(a≤t≤b)时，则路程s＝－bav(t)dt.图4－4－1【互动探究】4．一物体A以速度v＝3t2＋2(t的单位：s，v的单位：m/s)，在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以v＝8t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为()A.4＋103B．2＋10C．5D．4解析：依题意得0(n3t2＋2)dt＝8＋08ntdt，n3＋2n＝8＋4n2⇒(n－4)(n2＋2)＝0⇒n＝4.D考点4定积分的综合的应用例4：过原点的直线l与抛物线y＝x2－4x所围成图形的面积为36，求l的方程．解析：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx，则由y＝kx，y＝x2－4x，得x＝0，y＝0或x＝k＋4，y＝kk＋4.(1)当k＋40，即k－4时，面积S＝40(kkx－x2＋4x)dx＝12kx2－13x3＋2x2k＋40＝12k(k＋4)2－13(k＋4)3＋2(k＋4)2＝16(k＋4)3＝36，∴k＝2，故直线l的方程为y＝2x.(2)当k＋40，即k－4时，S＝04(kkx－x2＋4x)dx＝12kx2－13x3＋2x20k＋4＝－12kk＋42－13k＋43＋2k＋42＝－16(k＋4)3＝36，∴k＝－10，故直线l的方程为y＝－10x.【互动探究】5．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图4－4－2中阴影部分的面积S1与S2之和最小．图4－4－2解：S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－20txdx＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t、x＝1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即S2＝12txdx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S为S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．当S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，可得t＝0，t＝12.当t＝12时，S最小，所以最小值为S12＝14.1．定积分在物理中的应用：在恒力作用下，物体沿力的方向移动s，则恒力所作的功为w＝fs，当F(x)为变力的，物体在变力F(x)作用下沿x轴作直线运动，物体从x＝a称移动到x＝b，根据定积分概念知变力所作的功w＝baF(x)dx.2．定积分在几何中的应用：被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(ab)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.(1)当f(x)0时，S＝baf(x)dx.(2)当f(x)0时，S＝－baf(x)dx.(3)当x∈[a，c]时，f(x)0；当x∈[c，b]时，f(x)0，则S＝caf(x)dx－bcf(x)dx.