1测量平差中几种模型之间的关系--朱思林

测量平差中几种模型之间的关系摘要各种不同的平差模型方法都有其各自的特点和优点，在实际测量结果处理时，为了更简便的对测量结果进行平差，得到较精确的数据，我们在处理测量数据时虽然往往根据不同的情况选着不同的平差方法，但是无论采用何种方法，其平差的最终结果是一样的。因此本文主要通过测量平差公式的理论分析以及已有文献的论证结果，论述各种平差模型之间的相互关系，并且利用一些例题加以直观说明，得到的结果有利于更直观理解各种平差模型，以及更明确的掌握这几种模型之间的关系，以便于在面对一个测量问题时选择较为合适的测量平差模型，对于测量数据处理理论分析和实际测量应用具有一定的参考价值。关键词：测量平差；平差模型；关系前言随着科学的不断进步与发展以及人类对生活质量要求的提高，测量学科的理论技术也不断得到完善，同时要求我们测量工作能够得到更精确的结果。因此不但要研究更精密的测量仪器，在理论方面还要对测量结果进行平差，由于测量平差的计算方法以及研究对象也在不断发展，这就需要一套完整的测量平差体系，要求更好的掌握和运用各种测量平差模型。到目前为止，测量平差的理论模型已逐步接近完善，其中包括条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差以及附有限制条件的条件平差等五种平差模型。实质上，附有限制条件的条件平差模型是前四种平差模型的概括模型。不一样的平差方法都对应着不一样的函数模型。对于一个平差问题而言，无论采用何种平差模型，其最后平差结果（平差值及其精度）都是相同的。因此应根据不同的测量问题选择不同测量平差模型，以便于方便快捷的得到想要的平差结果，这就需要能够更好的理解和掌握测量平差中各种模型之间的关系。目前我们测量方面对各种平差方法的研究，可以用一个概括模型从总体上来描述各种测量平差模型。其根本上讲，各种测量平差方法的函数模型其实都是概括平差模型的特例。早在20世纪80年代末，於宗俦教授就提出了旨在统一四种经典平差模型的概括模型——附有限制条件的条件平差模型。可见测量平差中几种模型之间的关系非常密切。文献【1】中介绍了各种平差模型原理及其推导过程，其中包含五种测量平差函数模型的公式、用法以及意义，知识面较为广泛，内容细腻，比较容易理解，是测量平差学科的基础。文献【2】中王新州教授推导出了测量平差的概括模型，论证了其他平差方法均为概括模型的特例。文献【3】中通过对条件平差与间接平差、间接平差与附有参数的条件平差、条件平差与附有限制条件的间接平差以及附有参数的条件平差与附有限制条件的间接平差等相互转换关系的推倒论证，导出测量平差中各种模型之间的等价转换关系。其内容主要是详细的公式转换推导过程及论证，得到了各种平差方法的等价性及各种平差方法的内在联系性，其推导过程非常详细，但作者只论证了公式之间可以互相推导与转换。那么怎样才能更直观的理解这几种平差模型之间的关系呢？在此，我们利用其推导结果，采用列表、例题解答以及理论分析的方法进一步探讨测量平差中几种模型之间的直观联系，得到的结果对测量平差模型之间关系的进一步探讨具有一定的参考价值。1.各种平差模型的理论分析（表一）平差模型公式简介条件平差10110rrnrnALA以条件方程为函数模型的平差方法叫做条件平差。多余观测数r即为条件方程的个数，即在能够列出的条件方程中，只需列出其中r个没有线性关系的条件方程进行平差，而其他的条件方程都是这些条件方程的线性组合，除了这r个线性无关的条件方程外，其余条件方程都可由这r个方程导出，因此选择的r个条件方程符合要求，其余的所有条件方程必然可以得到满足。在这个基础上，优先选择形式简单、容易建立的条件方程以便减少计算的工作量。附有参数的条件平差1c1c1ucu1ncn0WxBVA在平差时，如果观测值的个数为n，其中必要观测数是t，那么多余观测数r=n-t。如果不增加参数，列出r个条件方程，此为条件平差法。假如再选u个独立量为参数（0ut）参与平差，那么带有参数的条件平差模型就建成了，即附有参数的条件平差模型。显而易见，条件平差可以看作附有参数的条件平差的特例，即参数个数为零间接平差111LntntndXB间接平差是指在平差时选择的独立参数X的个数等于必要观测个数t，并利用每个观测值来表示成这t个参数的函数，列出观测方程。其中所选参数必须是独立的，因此所选择的参数之间不存在函数关系。附有限制条件的间接平差1n1unu1ndXBL1sx1s1usu0WXC平差时，多余观测数r=n-t,，假如选择的参数ut，其中包含t个独立参数，则参数之间存在s=u-t个限制条件。在平差时列出n个观测方程以及s个限制方程，以这种函数模型进行平差的方法，称为附有限制条件的间接平差。显而易见，间接平差可以看作附有限制条件的间接平差的特例，即限制条件的个数为零。附有限制条件的条件平差1c1c1ucu1ncn0WxBVA…①1sx1s1usu0WXC…②附有限制条件的条件平差模型是综合以上四种基本平差方法模型的一种概括平差方法模型。2.测量平差概括模型对于测量平差模型而言，如果能在其所有模型中找到一个“通用公式”，这不仅能够方便人们的日常应用，而且更能加深人们对测量平差方法的理解。于一个函数模型来说，附有限制条件的条件平差模型有着特殊的意义。例如：（1）当表一中①和②式的系数阵B=0，C=0，那么它就变成了条件平差的函数模型；（2）当表一中①和②式的系数阵C=0时，那么它就变成了附有参数的条件平差的函数模型；（3）当表一中①和②式的系数阵A=-I，C=0时，那么它就变成了间接平差的函数模型；（4）当表一中①和②式的系数阵A=-I时，那么它就变成了附有限制条件的间接平差的函数模型。由上分析可知，条件平差、附有参数的条件平差、间接平差以及附有限制条件的间接平差都是附有限制条件的条件平差法的一个特例。换句话说，附有限制条件的条件平差的函数模型概括了所有的函数模型，因此该方法模型还被称为“概括平差函数模型”。3.举例说明平差结果的一致性由表一可知，条件平差是附有参数的条件平差的特例，间接平差是附有限制条件的间接平差的特例，而这四种模型又是附有限制条件的条件平差的特例。因此只要探究条件平差与间接平差之间有存在着怎样的关系，这几种平差模型的内在联系就会比较容易理解。文献【3】中作者已经运用公式推导的方法导出了条件平差与间接平差之间的等价转换关系，即条件平差模型与间接平差模型的公式之间可以互相推导转换。下面介绍一个例题，运用条件平差法以及间接平差法两种不同的方法来解答，旨在探究两种方法之间的关系。例题，如下图所示，A、B和C三点在一条直线上，AB、BC以及AC的距离已经测出，得到4个独立的观测值：1L=200.010m，2L=300.050m，3L=300.070m，4L=500.090m。令100m量距的权为单位权。（图一）（表二）条件平差法间接平差法解：本题n=4,t=2,故而r=n-t=2，即可列出两个条件方程：0L-LL4210L-L32以iiivLL带入上式，经计算可得条件方程为：03-v-vv42102-v-v32令100m量距的权为单位权，即iis100p又知法方程系数阵TaaAQAN由此得到法方程02363310bakk解得235.0ak，216.0bk，带入改正数方程计算V，得：cm18.1-65.0-35.147.0KQAVTT14观测量的平差值为m0147.200L1，0635.300L2m，m0635.300L3，m0782.500L4经验证，上述平差计算无误。解：由题意知t=2，选取1L2L的平差值为参数，即11XL、22XL则可以列出n=4个方程：111XvL222XvL233XvL2144XXvL令1011XXx，2022XXx，101LX，202LX，并带入观测数据，得误差方程为：11xv22xv2-xv233-xxv214常数项单位为cm。令100m量距的权为单位权，即iiS100p，组成的法方程为060.020.070.021xx026.186.020.021xx经解算，各段距离的平差值为m0147.200L1，0635.300L2m，m0635.300L3，m0782.500L4与条件平差方法结果相同。由表二可知一个平差问题，不管采用间接平差或者条件平差，它的最小二乘解释是一致和唯一的，即与采用何种平差方法无关。4.综述各种平差方法的共性与特性以上我们通过表一列出了5种不同的平差模型，并对其进行了简要地分析。这些形式各异的函数模型都表示者不同的平差方法。这些所有模型中，方程个数均少于待求未知数的个数，而且其系数矩阵的秩都与其增广矩阵的秩相同，因此，它们是包含无穷多组解的相容方程组。为了使解的不唯一性问题得到解决，最小二乘法原理得以采用。面对同一个平差问题，不管采用哪种平差模型，其平差结果都是一样的。下面通过一个例题来看对于同一问题运用不同方法解题的特点。例二，如图二所示，为确定ABC的形状观测了1L、2L、3L和4L四个角度值。（图二）由几何知识可知，必要观测数t=2，多余观测数r=2，本例因选择参数不同可得到四种不同的平差函数模型如表三所示：表三条件平差法由于r=2，即多余观测为两个，则约束条件有两个，由平面几何知识可得条件平差的函数模型：0180321321LLLvvv03604141LLvv对于本例来说利用此方法解算比较方便间接平差法由于t=2，增设两个独立未知参数21XX，设11LX，22LX，则间接平差的函数模型为：111LXv222LXv3213180LXXv414360LXv对于本例来说用此方法进行平差也比较方便附有限制条件的间接平差法t=2，在间接平差基础上如果再增加一个未知参数（11t），设为33LX，这样321XXX之间就不再独立，产生了约束条件，则可以列出附有限制条件的间接平差的函数模型：111LXv，222LXv333LXv，414360LXv180321XXX本例采用此方法解算起来较为复杂附有参数的条件平差法若本例中只增加一个未知参数（12t），显然tt2，现设11LX，则是带有附有参数的条件平差，函数模型为：0180321321LLLvvv03604141LLvv0111LXv本例采用此方法解算起来也较为复杂总结：通过表三对例二四种解法的分析，可知这四种函数模型的解算结果相同，说明四种平差方法都可以进行平差（表三中只给出了各自的函数模型，没有具体解算平差）。对于本例来说，采用条件平差或者间接平差效果较好一些，因为这两种平差方法的解算比较简单，这里给出的四种平差方法的函数模型，只是利用例二加以对比，在实践中有些问题则采用后两种方法较好。在实际应用中，要根据具体问题具体分析，选择适当的平差方法，千万不要无选择的照搬照套。不同的平差方法都有其各自的特点，因此我们不能断言最好的方法是哪一种。但对于实际问题而言，面对不同问题，还是有不同方法的选择，目前间接平差和附有限制条件的间接平差被采用较多，因为：（1）这些模型中，其误差方程形式统一，规律性强，计算机程序设计时比较方便；（2）选择的参数一般就是平差后需要的成果，例如在三角网中选择待定点的坐标作为参数，水准网中选择待定点的高程作为参数等，这可以说是这两个平差模型的最大优点。但同时不要忽略了其他平差方法，不是说其他方法没有用了或者不重要了。例如，求一个三角形的内角的平差值，则采用条件平差比较合理与方便。假如对于求的个别非观测量的平差值及精度的问题，那么采用附有参数的条件平差法比较合理。但必须强调的是附有限制条件的条件平差模型有着特殊意义，因为它是其他四种模型的概括模型。5