2014・新课标高考总复习・数学2-9函数与方程

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第九节函数与方程抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、函数的零点1．定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值，即，则α叫做这个函数的零点．2．函数有零点的几个等价关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．等于零f(α)＝0抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）二、函数零点所在区间的判断如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．三、二分法用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证；第二步，求区间[a，b]的中点x1；第三步：计算f(x1)和f(a)，并判断：异号f(a)f(b)0f(a)f(b)0抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）①如果，则x1就是函数的零点；②如果，则令b＝x1(此时零点x0∈[a，x1])；③如果，则令a＝x1(此时零点x0∈[x1，b])；第四步：判断是否达到精确度，否则重复第二、三、四步．f(x1)＝0f(a)f(x1)0f(a)f(x1)0抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）四、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]1．函数的零点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根；(2)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件．2．零点存在定理的零点个数(1)在(a，b)上存在零点(此处的零点不仅指变号零点)，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个；(2)若函数在(a，b)上有零点，不一定有f(a)f(b)0.(3)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(课本习题改编)函数f(x)＝lnx＋x－2的零点位于区间()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：由f(x)＝lnx＋x－2知f(1)＝－10，f(2)＝ln20，f(3)＝ln3＋10，f(4)＝ln4＋20，根据函数的零点存在性定理可知．f(x)的零点在(1,2)内，选B.答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2012年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．(课本习题改编)函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定解析：因为f(x)在(－2,2)有一个零点，不能说明f(－2)·f(2)的符号；如f(x)＝x2，更不能判断f(－1)·f(1)的值．故选D.答案：D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(2013年怀化模拟)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已知一个根在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析：计算函数f(x)＝x3－2x－1在x＝1，x＝32，x＝2处的函数值，根据函数的零点存在性定理进行判断f(1)0，f(2)0，f32＝278－3－10，f32·f(2)0，故下一步可断定该根在区间32，2内．答案：32，2抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点，又∵f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上单调递增，∴f(0)·f(1)0.即a(a＋2)0，解得－2a0.答案：(－2,0)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一函数零点的求解与判断[例1](2012年高考辽宁卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为()A．5B．6C．7D．8[解析]根据函数y＝f(x)的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解．根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0x≤12，则x3＝xcos(πx)，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）即x2＝|cosπx|，同理可以得到在区间－12，0，12，1，1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．[答案]B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2013年唐山模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故选C.答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二二分法[例2](2013年济南模拟)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．[解析]通过参考数据可以得到：f(1.375)＝－0.2600，f(1.4375)＝0.1620，且1.4375－1.375＝0.06250.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4375.[答案]1.4375(答案不唯一)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年锦州模拟)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．解析：设f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－10，f(2.5)＝f(52)＝1258－100，∴下一个有解区间为(2,2.5)．答案：(2,2.5)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三函数零点的应用[例3]已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．[解析]若a＝0，则f(x)＝2x－3，显然在[－1,1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；②当f(－1)·f(1)＝(a－5)(a－1)0，即1a5时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点；③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）a0，Δ＝8a2＋24a＋40，－1－12a1，f1≥0，f－1≥0或a0，Δ＝8a2＋24a＋40，－1－12a1，f1≤0，f－1≤0，解得a≥5或a－3－72.综上所求实数a的取值范围是a1或a≤－3－72.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）本例中条件若变为“f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内”求实数a的取值范围．解析：f(x)在区间(1,2)内单调递增，由已知条件知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解得0a3.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【思想方法】函数与方程思想在两函数图象交点问题中的应用【典例】(2012年高考山东卷)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a0时，x1＋x20，y1＋y20B．当a0时，x1＋x20，y1＋y20C．当a0时，x1＋x20，y1＋y20D．当a0时，x1＋x20，y1＋y20抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【思路导析】由f(x)，g(x)有公共点转化为方程f(x)＝g(x)的根的问题，然后变形方程分a0，a0讨论求解来判断．【解析】由题意知函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于方程1x＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0