现控知识点背诵版(夏超英)

状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小的一组变量称为状态变量。状态矢量：如果n个状态变量用x1(t)，x2(t),……,xn(t)表示并将这些状态变量看作矢量x(t)称为状态矢量。状态空间：以状态变量x1(t)，x2(t),……,xn(t)为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。状态轨迹：随时间的推移，系统状态在状态空间中描绘出的一条轨迹称为状态轨迹。状态变量/向量特性：①线性无关②状态变量/向量不唯一③状态变量/向量个数唯一。状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。状态方程特性：①一阶微分方程或差分方程②状态空间分析法中的基本方程③状态方程具有非唯一性④状态方程中不含有输入变量的导数输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为输出方程。状态空间表达式：用状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式动态方程的特性：①动态方程用状态方程、输出方程来表达输入-输出关系，提示系统内部状态对系统性能的影响②动态方程是状态空间分析法中的基本数学方程③动态方程具有非唯一性自治系统：若在系统的状态空间表达式中函数f和g均不是含时间t或tk称该系统为自治系统。线性系统：在系统状态空间表达式中f和g均为线性函数，称为线性系统因果性：系统在t时刻输出输出取决于t时刻与t时间的输入，而与t之后的输入无关；能控标准I型：若采取各积分器的输出通过状态矩阵反馈得到第一级积分器的输入，输入作用到第一级积分器的输入，各积分器的输出通过输出矩阵得到系统的输出方式。其中𝒙̇=[010001⋯⋯00⋮⋱⋱⋱⋮0⋯0−𝛼0−𝛼1⋯0−𝛼𝑛−21−𝛼𝑛−1]𝒙+[00⋮01]̇𝒖𝐲=[𝛽0𝛽1⋯𝛽𝑛−2𝛽𝑛−1]𝒙+𝛽𝑛𝒖能控标准II型：若采用最后一级积分器的输出通过状态矩阵反馈到各积分器的输入，输出作用到第一级积分器的输入，各积分器的输出通过输出矩阵得到系统的输出方式。𝒙̇=[010−𝛼0−𝛼1⋱⋱⋮101−𝛼𝑛−2−𝛼𝑛−1]𝒙+[10⋮00]̇𝒖𝐲=[𝛾𝑛−1𝛾𝑛−2⋯𝛾1𝛾0]𝒙+𝛾𝑛𝒖其中[100𝑎𝑛−110𝑎𝑛−2𝑎𝑛−11⋯⋱⋱0⋮0⋮⋱⋱⋱0𝑎0⋯𝑎𝑛−2𝑎𝑛−11][𝛾𝑛𝛾𝑛−1⋮𝛾1𝛾0]=[𝑏𝑛𝑏𝑛−1⋮𝑏1𝑏0]̇能观标准I型：采用各积分器输出通过状态矩阵反馈到第一级积分器输入，输出和最后一级积分器输出相连，输入通过输入矩阵作用到各积分器的输入。𝒙̇=[010001⋯⋯00⋮⋱⋱⋱⋮0⋯0−𝛼0−𝛼1⋯0−𝛼𝑛−21−𝛼𝑛−1]𝒙+[𝛾𝑛−1𝛾𝑛−2⋮𝛾1𝛾0]̇𝒖𝐲=[10⋯00]𝒙+𝛾𝑛𝒖能观标准II型：采取最后一级积分器的输出通过状态矩阵反馈反馈到各积分器的输入，系统输出和最后一级积分器输出相连，系统输入通过输入矩阵作用到各积分器的输入。𝒙̇=[010−𝛼0−𝛼1⋱⋱⋮101−𝛼𝑛−2−𝛼𝑛−1]𝒙+[𝛽0𝛽1⋮𝛽𝑛−2𝛽𝑛−1]̇𝒖𝐲=[00⋯01]𝑥+𝛽𝑛𝒖非奇异线性变换化为能控能观标准型：单输入单输出系统：构造变换矩阵：𝐋=[𝑎1⋯𝑎𝑛−2⋮⋰⋰𝑎𝑛−11⋰0𝑎𝑛−2𝑎𝑛−11𝑎𝑛−111]能控标准型条件矩阵𝐌=[𝒃𝑨𝒃⋯𝑨𝒏−𝟐𝒃𝑨𝒏−𝟏𝒃]非奇异能观标准型条件矩阵𝐍=[𝒄𝒄𝑨⋯𝒄𝑨𝒏−𝟐𝒄𝑨𝒏−𝟏]𝑻非奇异能控标准一型变换矩阵为：T=ML能控标准二型变换矩阵为：T=M能观标准一型变换矩阵为：T=N-1能观标准二型变换矩阵为：T=N-1L-1特征多项式：线性定常系统(A,B,C,D)，称多项式φ(s)=|𝝀𝑰−𝑨|=λ𝑛+𝑎𝑛−1λ𝑛−1+⋯⋯+𝑎1λ+𝑎0为系统的特征多项式特征方程：方程φ(s)=|s𝑰−𝑨|=s𝑛+𝑎𝑛−1s𝑛−1+⋯⋯+𝑎1s+𝑎0=0为系统的特征方程矩阵A化为对角标准型的充要条件：矩阵A有n个线性无关的特征向量，包括1)矩阵A的特征根λi互异2)矩阵λiI-A的降秩数σi等于特征根的重数li，即有σi=n-rank(λiI-A)=li3)若𝐀~𝐁⇒A与B特征值相同，但特征向量不一定相同矩阵A化为约当标准型的充要条件：矩阵有n个相同的特征值，且λiI-A的降秩数等于1广义特征向量：设λi为A的σi重特征值，满足(λ𝑖𝑰−𝑨)𝑘𝝂𝑖=0,(λ𝑖𝑰−𝑨)𝑘−1𝝂𝒊≠0的非零向量𝜈𝑖称为A的k级广义特征向量矩阵A化为约当块分裂的约当型充要条件：矩阵有m个相同的特征值，且λiI-A的降秩数大于等于1，且不等于λi的代数重数。A为标准型化对角型：即𝐀=[010001⋯⋯00⋮⋱⋱⋱⋮0⋯0−𝛼0−𝛼1⋯0−𝛼𝑛−21−𝛼𝑛−1]1）A的特征值无重根：线性变换为范德蒙型行矩阵𝐓=[111𝜆1𝜆2𝜆3⋯⋯1𝜆𝑛𝜆12𝜆22𝜆32⋯𝜆𝑛2⋮⋮⋮𝜆1𝑛−1𝜆2𝑛−1𝜆3𝑛−1⋱⋯⋮𝜆𝑛𝑛−1]2）A的特征值有重根以λ为例𝐓=[100𝜆10⋯0⋯⋯0⋯00𝜆𝟐2𝜆1⋮⋮⋮𝜆𝑗−1𝑑(𝜆𝑗−1)𝑑𝜆12𝑑(𝜆𝑗−1)𝑑𝜆⋯0⋯⋱⋮⋱⋯1𝑖!𝑑𝑖(𝜆𝑗−1)𝑑𝜆𝑖⋯0⋮0⋮⋮⋮𝜆𝒏−𝟏𝑑(𝜆𝑛−1)𝑑𝜆12𝑑2(𝜆𝑛−1)𝑑𝜆2⋱⋮⋱⋯1𝑖!𝑑𝑖(𝜆𝑛−1)𝑑𝜆𝑖⋯⋮1]3)A的特征值有复共轭根即λ1,2=𝜎±𝑗𝜔𝐓=[𝟏𝟎𝟏𝝈𝝎𝝀𝟑⋮⋮⋮𝟏⋯𝟏𝝀𝟒⋯𝝀𝒏⋮⋱⋮∑𝑪𝒋𝟐𝒊𝟐𝒊≤𝒋𝒊=𝟎𝝈𝒋−𝟐𝒊(𝒋𝝎)𝟐𝒊∑𝑪𝒋𝟐𝒊+𝟏𝟐𝒊+𝟏≤𝒋𝒊=𝟎𝝈𝒋−𝟐𝒊−𝟏(𝒋𝝎)𝟐𝒊+𝟏𝝀𝟑𝒋⋮⋮⋮∑𝑪𝒏−𝟏𝟐𝒊𝟐𝒊≤𝒏−𝟏𝒊=𝟎𝝈𝒏−𝟏−𝟐𝒊(𝒋𝝎)𝟐𝒊∑𝑪𝒋𝟐𝒊+𝟏𝟐𝒊+𝟏≤𝒏−𝟏𝒊=𝟎𝝈𝒏−𝟐𝒊−𝟐(𝒋𝝎)𝟐𝒊+𝟏𝝀𝟑𝒏−𝟏𝝀𝟑𝒋⋯𝝀𝒏𝒋⋮⋱⋮𝝀𝟑𝒏−𝟏⋯𝝀𝒏𝒏−𝟏]此时𝑻−𝟏𝑨𝑻=[𝜎𝜔0−𝜔𝜎000𝜆30000⋯0⋮⋮⋮000⋱⋮⋯𝜆𝑛]凯来哈密顿定理：矩阵A∈𝑅𝑛𝑥𝑛的特征多项式，一定是矩阵A的化零多项式，即若A的特征多项式为φ(s)=|s𝑰−𝑨|=s𝑛+𝑎𝑛−1s𝑛−1+⋯⋯+𝑎1s+𝑎0一定有φ(𝐀)=𝐀𝑛+𝑎𝑛−1𝐀𝑛−1+⋯⋯+𝑎1𝑨+𝑎0𝐼=0最小多项式：设多项式φ𝑚(s)=s𝑙+𝑏𝑙−1s𝑙−1+⋯⋯+𝑏1s+𝑏0是使𝐀𝑙+𝑏𝑙−1𝐀𝑙−1+⋯⋯+b1𝐀+𝑏0𝐼=0成立的首项为1，阶次最小的多项式，称φ𝑚(s)为矩阵A的最小多项式；最小多项式性质：1）矩阵A的最小多项式存在且唯一2）设有多项式φ(s)使φ(𝐀)=0,则φ(s)必定能被A的最小多项式φ𝑚(s)整除3）矩阵sI−A的伴随矩阵abj(sI−A)的每一个元素都是多项式，记这些多项式最大公因子为d(s),则特征多项式φ(s)=det(s𝑰−𝑨)=φ𝑚(s)𝑑(𝑠)4）设矩阵A有m个相异的特征根λ1,λ2,⋯⋯,λ𝑚，𝑑𝑖是A的约当标准型中λ𝑖所对应的约当块中最大子约当块的维数，则A的最小多项式φ𝑚(s)=(𝑠−λ1)𝑑1(𝑠−λ2)𝑑2⋯(𝑠−λ𝑚)𝑑𝑚线性定常系统状态转移矩阵的性质：1)状态转移矩阵的逆矩阵：Φ−1(𝑡)=Φ(−t)2)状态转移矩阵的传递性：Φ(𝑡1)Φ(𝑡2)=Φ(𝑡1+𝑡2)3)状态转移矩阵的初始性质：Φ(0)=Φ(−t)Φ(t)=Φ−1(𝑡)Φ(t)=I4)状态转移矩阵的求导：𝒅𝒅𝒕Φ(t)=𝐀Φ(t),𝒅𝒅𝒕Φ(−t)=𝒅𝒅𝒕Φ−1(𝑡)=−Φ(−t)𝐀5)状态转移矩阵Φ(t)与矩阵A可交换：𝐀Φ(t)=Φ(t)𝑨6)对偶系统矩阵-A𝑇的状态转移矩阵等于[Φ𝑇(t)]−17)对于nxn方阵A和B，当且仅当AB=BA时有𝐞𝑨𝒕𝐞𝑩𝒕=𝐞(𝑨+𝑩)𝒕8)状态转移矩阵与系统矩阵的关系：Φ(t)=𝐞𝑨𝒕=𝑳−𝟏[(𝒔𝑰−𝑨)−𝟏]状态转移矩阵求解1）利用凯莱哈密顿定理求解：𝐞𝑨𝒕=𝛼𝑛−1(𝑡)𝐀𝑛−1+⋯⋯+𝛼1(𝑡)𝑨+𝛼0(𝑡)𝑰若A有n个不同的特征值：[𝛼0(𝑡)𝛼1(𝑡)𝛼2(𝑡)⋮𝛼𝑛−1(𝑡)]=[1𝜆1𝜆121𝜆2𝜆22⋯⋯𝜆1𝑛−1𝜆2𝑛−11𝜆3𝜆32⋯𝜆3𝑛−1⋮⋮⋮1𝜆𝑛𝜆𝑛2⋱⋯⋮𝜆𝑛𝑛−1]−1[𝐞𝜆1𝒕𝐞𝜆2𝒕𝐞𝜆3𝒕⋮𝐞𝜆𝑛𝒕]若A有n个相同的特征根𝜆[𝛼0(𝑡)⋮𝛼𝑖(𝑡)⋮𝛼𝑛−3(𝑡)𝛼𝑛−2(𝑡)𝛼𝑛−1(𝑡)]=[000000⋯0⋰⋮⋯1⋰⋮000⋯1(𝑛−𝑖−1)!𝑑𝑖(𝜆𝑛−1)𝑑𝜆𝑖⋯1(𝑛−𝑖−1)!𝑑𝑖(𝜆𝑛−1)𝑑𝜆𝑖⋮⋰⋮001012𝜆1𝜆𝜆2⋰⋮⋯(𝑗−1)𝑗2!𝜆𝑛−3⋯𝑗𝜆𝑗−1⋯𝜆𝑗⋰⋯⋮(𝑛−1)(𝑛−2)2!𝜆𝑛−3⋯(𝑛−1)𝜆𝑛−2⋯𝜆𝑛−1]−1[𝟏(𝒏−𝟏)!𝒕𝒏−𝟏𝐞𝜆𝒕⋮𝟏(𝒏−𝒊−𝟏)!𝒕𝒏−𝒊−𝟏𝐞𝜆𝒕⋮𝟏𝟐!𝒕𝟐𝐞𝜆𝒕𝒕𝐞𝜆𝒕𝐞𝜆𝒕]2)当A可化为对角标准型，设变换矩阵为T有：e𝑨𝑡=𝑻[e𝜆1𝑡e𝜆2𝑡⋱e𝜆𝑛𝑡]𝐓−13）当A可化为约当标准型，设变换矩阵为T有：e𝑨𝑡=𝑻[1𝑡12!𝑡21𝑡1⋯1(𝑛−1)!𝑡𝑛−1⋱⋱⋮𝑡12!𝑡2𝑡1]𝑻−14）A含有共轭复根λ1,2=𝜎±𝑗𝜔：𝐌=𝐐−𝟏𝐀𝐐=[𝜎𝜔−𝜔𝜎]e𝑨𝑡=𝑻[cos𝜔𝑡sin𝜔𝑡−sin𝜔𝑡cos𝜔𝑡]𝑻−𝟏*e𝜎𝑡线性定常系统微分方程的解：𝒙(𝒕)=𝑒𝑨(𝑡−𝑡0)𝒙(𝑡0)+∫𝑒𝑨(𝑡−𝜏)𝑩𝒖(𝝉)𝑑𝜏𝑡𝑡0传递函数矩阵零极点的性质：设(A,B,C,D)是传递函数矩阵G(s)的一个最小实现，实数或复数λ是G(s)极点，则存在初始状态x(0)和非零向量h，使得系统在零输入下的输出响应𝐲(t)=𝒉e𝜆𝑡，𝑡0，𝒉=𝑪𝝂,(𝛌𝐈−𝐀)𝛎=𝟎,𝐱(𝟎)=𝝂实数或复数z是G(s)的零点，则存在初始状态x(0)和非零常值向量r，使得系统对输入𝐮(t)=𝐫e𝑧𝑡×1(𝑡)的输出响应𝐲(t)≡𝟎，[𝒛𝑰−𝑨𝑪]𝒙(𝟎)=[𝑩−𝑫]𝒓舒尔公式：𝐝𝐞𝐭[𝑨𝟏𝟏𝑨𝟏𝟐𝑨𝟐𝟏𝑨𝟐𝟐]=𝒅𝒆𝒕𝑨𝟏𝟏∗𝒅𝒆𝒕(𝑨𝟐𝟐−𝑨𝟐𝟏𝑨𝟏𝟏−𝟏𝑨𝟏𝟐)状态空间的性质：1）控制作用只能影响系统状态变量在能控子空间下的投影值，却无法影响状态变量在不能控子空间下的投影值。2）通过有限时间对系统输出量的测量，只能得到系统状态变量在能观子空间上的投影值，无法得到系统状态变量在不能观子空间上的投影值𝚽(𝒕𝟎,𝒕)𝑩(𝒕)n个行向量在[t0,t1]线性独立的充要条件：能控型格拉姆矩阵𝐺𝑐(𝑡0,𝑡1)=∫𝚽(𝑡0,𝜏)𝑩(𝜏)𝑩𝑻(𝜏)𝚽𝑻(𝑡0,𝜏)𝑑𝜏𝒕𝟏𝑡0满秩𝑪(𝒕)𝚽(𝒕,𝒕𝟎)n个