高中立体几何证明垂直的专题训练

1PEDCBA高中立体几何证明垂直的专题训练深圳龙岗区东升学校——罗虎胜立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。(1)通过“平移”,根据若平面则平面且abba,,//1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.求证：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE//BF，易证BF⊥平面PDC2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD；分析：取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF⊥平面PDC于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCDEFBACDP（第2题图）23、如图所示，在四棱锥PABCD中，ABPAD平面,//ABCD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且12DFAB,PH为PAD中AD边上的高。（1）证明：PHABCD平面；（2）若121PHADFC，，，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EFPAB平面.分析：要证EFPAB平面，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD,易证DG⊥平面PAB4.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,,2,BAADCDADCDABPA底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD。证明:BEPDC平面;分析：取PD的中点F，易证AF//BE,易证AF⊥平面PDC（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；ACBP36、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：AB⊥PC因为PAB是等边三角形，90PACPBC,所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD,则PDAB,CDAB,所以AB平面PDC,所以ABPC。（3）利用勾股定理7、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，,1,2.PACDPAPD求证:PA平面ABCD；8、如图1，在直角梯形ABCD中，CDAB//，ADAB，且121CDADAB．现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC平面BDE；_D_C_B_A_PMAFBCDEMEDCBAF4CADBOE9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；（1）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD10、如图，四棱锥SABCD中，BCAB,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD．（Ⅰ）证明：SDSAB平面;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．解法一：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则,3.SEABSE又SD=1，故222EDSESD，所以DSE为直角。由,,ABDEABSEDESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以SD平面SAB。5（4）利用三角形全等或三角行相似11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE,于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM,∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O法二：连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；分析：取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB113、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；（5）利用直径所对的圆周角是直角614、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.OACBPD.15、如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2AB,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD平面PAC;16、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．求证：平面ABM⊥平面PCD；．证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.OAPBCMDz